圓周率π是無理數。證明如下：
假設π是有理數，則π=a/b，（a,b為自然數）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,則
0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上兩式相乘得：
0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)
當n充分大時，,在[0，π]區間上的積分有
0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數)
由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，F(x)和F(π)也都是整數。
又因為
d[F"(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F"(x)cosx-F"(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F"(x)sinx-F(x)cosx]，（此處上限為π，下限為0）
圓周率π是無理數。證明如下：
假設π是有理數，則π=a/b，（a,b為自然數）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,則
0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上兩式相乘得：
0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)
當n充分大時，,在[0，π]區間上的積分有
0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數)
由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，F(x)和F(π)也都是整數。
又因為
d[F"(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F"(x)cosx-F"(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F"(x)sinx-F(x)cosx]，（此處上限為π，下限為0）