所謂集合現在教科書上是這樣講的：一般地在一定範圍內某些確定的不同物件的全體構成一個集。

集合是數學中的一個基本概念，由德國數學家康托爾在十九世紀七十年代奠定，它是集合論研究的物件，簡單地說是在最原始的集合論，樸素集合論中的定義，通俗地說集合就是確定一堆東西，集合的東西叫你元素。

由一個或多個確定的元素所構成的整體叫做集合，如：x是集合A的元素則記作x€A，集合中的元素有三個特徵，一確定性，即集合中的元素必須是確定的。二互異性，集合中的元素互不相同。三無序性，集合中的元素沒有先後之分。

集合論奠定後，經過一大批科學家的努力到二十世紀二十年代已確立了在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說現代數學各個分支幾乎所有成果都構築在集合理論上。

集合論的形成，是研究物質在靜止或運動狀態下具有一般的普遍的意義。相比在原來確定函式的定義域要寬泛準確直觀得多。

電影《夏洛特煩惱》描述了一個這樣的場景：夏洛一覺醒來，發現回到了十幾年前的教室裡，之前的一切都是在做夢。其實我們在生活中也偶爾有有過這樣的體驗：在某個時刻你會突然會感覺：我現在是不是在做夢呢？那麼，我們怎麼判斷我們自己是不是在做夢呢？

有人說，咬咬手指頭看看疼不疼，其實這個方法呀，一點兒都不靈，如果你真是在做夢咬自己的手指頭，那還真的能夠感覺到疼痛。還有人說呀，像《盜夢空間》裡的人一樣，給自己做一個小陀螺，如果小陀螺不倒就證明自己在做夢。其實這就更行不通了，因為《盜夢空間》的主角用的辦法，是在判斷自己是不是在別人設計的夢裡。而如果是自己主動做的夢，那就沒辦法識別了。有人說，等著就行了，如果是在做夢一定會醒來，而且時間不會很長，那麼，萬一我們是一動不動的植物人呢？我們就會做一個很長的夢下去，所以透過時間長短來判斷是不是做夢，也是無效的。

那麼，究竟怎麼樣才能知道自己是不是做夢呢？答案是，沒有任何辦法！這個答案可能讓你覺得不敢相信啊，甚至會摧毀你的信心。因為，如果周圍的一切都是在做夢，那麼人生就變的毫無意義了。但沒辦法，這就是事實。我們不但沒有辦法判斷自己是不是正在做夢，而且我們還沒有辦法判斷自己是不是一個活人。我們有可能是個被連線了很多電線的植物人，有可能是一個全自動的機器人，有可能是一個計算機遊戲裡的虛擬人物，當然，我們也有可能是個活生生的人。這一切都是有可能的，但又都不能100%的確定。

我們不僅不能判斷自己是不是做夢，不僅不能判斷自己是不是活人，我們還不能精確判斷自己的父母是誰。我們的記憶是不可靠的，照片和錄影是不可靠的，父母對我們說的話是不可靠的，甚至基因檢測也是不可靠的。現在大家普遍認為：透過基因檢測來做親子鑑定是最為可靠的，但是你要知道基因檢測只能把親子關係確定在99.9%。你可能會說，如果一個人有99.9%的可能性是自己的父親，這跟100%有什麼區別呀，不就差千分之一嗎？但是你要知道，99.9%的確定就意味著千分之一的不確定，也就是說，如果我們找來1萬人同時跟你做親子鑑定的話，千分之一的錯誤率就意味著，1萬人裡面大概有10個的基因跟你差不多，他們都有可能是你的父親。如果是1億人同時來測試，那麼就意味著有10萬人跟你的基因類似，請問，這10萬人中哪一個是你的父親？

請注意，我要說的不僅僅是我們的父母是誰無法確定。我要說的是，幾乎世界上發生的任何一件事情都不能100%的確定。怎麼樣，這樣的結果有沒有讓你感到崩潰呀。但是，有一些東西除外，比如：1+1=2。我們不但知道1+1絕對=2；我們還知道任意一個三角形內角和絕對等於180度，知道圓的中心到圓上任意一點的距離絕對等於它的半徑，知道加法交換律，乘法的分配率，勾股定理等等。只有數學的確定性是100%的。讓我們來看一道簡單的數學題：

小明有1個蘋果，媽媽又為他買了1個，小明現在有幾個蘋果？

自從我們上幼兒園的時候都知道答案是兩個。但是你見過小明嗎？你見過他媽嗎？你見過他的蘋果嗎？你憑什麼認為他現在有兩個蘋果？但是沒辦法我們就是確信，而且絲毫都不懷疑。這難道不奇怪嗎？我們幾乎天天和父母在一起，但是卻沒有任何辦法證明自己是他們親生的孩子，我們根本不知道小明是誰，但你仍然知道1+1=2，為什麼？

請注意，我不是在講1+1為什麼等於2？我們講的是為什麼會對1+1=2如此的相信。不僅在真實的世界裡1+1=2，在鏡子裡的世界裡也是1+1=2，在電腦遊戲裡1+1=2，甚至就連我們做夢的時候，我們也不會夢到一個1+1不等於2的場景。為什麼這個世界的一切都不可知，而數學卻讓我們如此確信！很簡單，因為數學是從我們已知的萬事萬物中抽象總結出來的最基本、最穩定、最精確、最具有普遍意義的知識。正因為如此，所以數學才如此迷人，正因為如此，所以才會有無數的智者為之奮鬥。

人的生命是有限的，而真理是永恆的。歷史上，有無數的智者透過數學的偉大見證自己生命的偉大，透過數學的魅力講述自己人生的精彩。魯道夫的墓碑上記載的是圓周率，阿基米德的墓碑上記載的是圓球外切的圓柱，高斯的墓碑上記載的是正十七邊形，而丟番圖的墓碑上，用代數題描述了自己的年齡。無數的古聖先賢已經用數學為我們搭建了智慧的天梯、我們要站在他們的肩膀上，為自己有限的生命找到永恆的意義。是的，數學是人類智慧的精華，數學是現代科學的基礎。今天的世界：

是一條數學定理在維持著宇宙的秩序，她就是萬有引力F=GMm/r^2

是一條數學方程在保障著世界的安全，她就是質能方程E=MC^2

是一條數學公式在維護著經濟的繁榮，她就是貨幣公式MV=PT