第一步，不等式左邊分子分母同乘以n。
不等式可化為lnn-ln(n-1)-n/(n^2+1)>=0
不等式可化為ln(n/(n-1))-n/(n^2+1)>=0
令f(n)=ln(n/(n-1))-n/(n^2+1)
f(2)=ln2-2/5>0
第二步，研究f(n)。
f"(n)=(n-1)/n*[(n-1)-n]/(n-1)^2-
[(n^2+1)-n*2n]/(n^2+1)^2
=-1/[n(n-1)]-(1-n^2)/(n^2+1)^2
=-[(n^2+1)^2+(1-n^2)n(n-1)]/
[n(n-1)(n^2+1)^2]
=-(n^4+2n^2+1+n^2-n-n^4+n^3)/
=-(n^3+3n^2-n+1)/[n(n-1)(n^2+1)^2]
令g(n)=n^3+3n^2-n+1
g"(n)=3n^2+6n-1=3(n+1)^2-4
令g"(n)=0,駐點n位於(0,1)區間內，
因為n為正整數且大於等於2，所以g"(n)>0
因此g(n)為增函式，最小值g(2)=23>0
所以f"(n)
第三步，證明f(+∞)>=0
要證明f(n)=ln[n/(n-1)]-n/(n^2+1)>=0
則證明ln[n/(n-1)]>=n/(n^2+1)即可
[ (n^2+1)/n]ln[n/(n-1)]>=1
(n+1/n)ln[1+1/(n-1)]>=1
ln[1+1/(n-1)]^(n+1/n)>=1
仔細觀察不等式左邊，
恰好為ln(1+1/x)^x型表示式，可知當x->+∞時，表示式等於1；證明完畢。
第一步，不等式左邊分子分母同乘以n。
不等式可化為lnn-ln(n-1)-n/(n^2+1)>=0
不等式可化為ln(n/(n-1))-n/(n^2+1)>=0
令f(n)=ln(n/(n-1))-n/(n^2+1)
f(2)=ln2-2/5>0
第二步，研究f(n)。
f"(n)=(n-1)/n*[(n-1)-n]/(n-1)^2-
[(n^2+1)-n*2n]/(n^2+1)^2
=-1/[n(n-1)]-(1-n^2)/(n^2+1)^2
=-[(n^2+1)^2+(1-n^2)n(n-1)]/
[n(n-1)(n^2+1)^2]
=-(n^4+2n^2+1+n^2-n-n^4+n^3)/
[n(n-1)(n^2+1)^2]
=-(n^3+3n^2-n+1)/[n(n-1)(n^2+1)^2]
令g(n)=n^3+3n^2-n+1
g"(n)=3n^2+6n-1=3(n+1)^2-4
令g"(n)=0,駐點n位於(0,1)區間內，
因為n為正整數且大於等於2，所以g"(n)>0
因此g(n)為增函式，最小值g(2)=23>0
所以f"(n)
第三步，證明f(+∞)>=0
要證明f(n)=ln[n/(n-1)]-n/(n^2+1)>=0
則證明ln[n/(n-1)]>=n/(n^2+1)即可
[ (n^2+1)/n]ln[n/(n-1)]>=1
(n+1/n)ln[1+1/(n-1)]>=1
ln[1+1/(n-1)]^(n+1/n)>=1
仔細觀察不等式左邊，
恰好為ln(1+1/x)^x型表示式，可知當x->+∞時，表示式等於1；證明完畢。