在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身並不承認無理數的存在。 直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是“稠密”的，於是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1釐米的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001釐米），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414釐米）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為： 任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。 正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有“萬物皆數”的信念，這裡的數是指自然數（1 , 2 , 3 ，...），而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在“縫隙”這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊；見第一次數學危機。

從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作數；後來有虛數概念的引入，為加以區別而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，儘管虛數已經出現並廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函式、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康託等人對實數進行了嚴格處理。