環的定義一個環是由一個集合R和兩種二元運算 + 和 · 組成，這兩種運算可稱為加法和乘法。一個環必須遵守以下規律：(R, +)形成一個可交換群，其單位元稱作零元素，記作‘0’。即： (a + b) = (b + a) (a + b) + c = a + (b + c) 0 + a = a + 0 = a ∀a ∃(−a) 滿足 a + −a = −a + a = 0 (R, ·)遵守： 1·a = a·1 = a （僅限於含么環） (a·b)·c = a·(b·c) 乘法關於加法滿足分配律： a·(b + c) = (a·b) + (a·c) (a + b)·c = (a·c) + (b·c) 注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可簡寫為 ab。 此外，乘法是比加法優先的運算，所以 a + bc 其實是 a + (b·c)。幾類特殊的環含單位元環： 在環的定義中，對於乘法單位(1)的存在並沒有做明確的要求。如果一個環R對於乘法有單位元存在(稱么元素或么元或單位元，記作‘1’)，則這個環稱為含么環或含單位元環。 交換環： 雖然環的定義要求加法具有交換律，但並沒有要求乘法也具有交換律。如果我們上面定義的乘法具有交換性：ab=ba，那麼這個環就稱為交換環。 除環： 主條目：除環如果含單位元環R去掉關於加法的單位元0後，對於乘法形成一個群（一般來說環R對乘法形成半群），那麼這個環就稱為除環。除環不一定是交換環，比如四元數環。交換的除環就是域。 無零因子環： 一般來說環R對乘法形成半群，但R\{0}對乘法不一定形成半群。因為如果有兩個非零元素的乘積是零，R\{0}對乘法就不是封閉的。如果R\{0}對乘法仍然形成半群，那麼這個環就稱為無零因子環。 這個定義實際上等價於任意兩個非零元素的乘積非零。 整環： 主條目：整環整環是含單位元的無零因子的交換環。例如多項式環和整數環。 主理想環： 主條目：主理想環每一個理想都是主理想的整環稱為主理想環。 唯一分解環： 主條目：唯一分解環如果一個整環R中每一個非零非可逆元素都能唯一分解，稱R是唯一分解環. 商環： 主條目：商環素環： 主條目：素環例子：整數環是一個典型的交換且含單位環。 有理數環，實數域，複數域都是交換的含單位元環。 所有項的係數構成一個環A的多項式全體A[X]是一個環。稱為A上的多項式環。 n為正整數，所有n×n的實數矩陣構成一個環。 環的理想主條目：理想右理想： 令R是環， 那麼環R與其加法 + 構成阿貝爾群。令I是R的子集。那麼I稱為R的右理想 如果以下條件成立：(I, +) 構成 (R, +) 的子群。 對於任意 和 有 。 左理想： 類似地，I稱為R的左理想如果以下條件成立：(I, +) 構成 (R, +) 的子群。 對於任意 和 有 。 如果I既是右理想，也是左理想，那麼I就叫做雙邊理想，簡稱理想。例子： 整數環的理想：整數環Z只有形如的nZ理想。 除環的理想：除環中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。 一般性質： 定理1 在環中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。 定理2 在環中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。 對於R的兩個理想A，B，記。按定義不難證明下面的基本性質：(1) 如果A是R的左理想，則AB是R的左理想； (2) 如果B是R的右理想，則AB是R的右理想； (3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。 如果A環R的一個非空子集，令
=RA+AR+RAR+ZA，則
是環R的理想，這個理想稱為R中由A生成的理想, A稱為生成元集。同群的生成子群類似，
是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況： (1) 當是交換環時，
=RA+ZA (2) 當是有單位元1的環時，
=RAR (3) 當是有單位元交換環時，
=RA 主理想：如果是個n元集合，則記，稱是有限生成理想.特別當是單元素集時，稱為環R的主理想。注意作為生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是： 性質： 幾類特殊環中的主理想： (1) 如果是交換環，則 (2) 如果是有單位元的環，則 (3) 如果是有單位元的交換環，則 真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。 極大理想： 一個真理想I被稱為R的極大理想，如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集。 極大左理想：設 I 是環R的左理想，如果並且在 I 與R之間不存在真的左理想，則稱 I 是環R的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關係： (1)如果 I 是極大左理想，又是雙邊理想，則 I 是極大理想。 (2)極大理想未必是極大左理想。 除環的零理想是極大理想。在有單位元的環中，如果零理想是其極大理想,稱這種環是單環。除環是單環，域也是單環。反之則不對，即存在不是除環的單環。 定理1 在整數環Z中，由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素數。 定理2 設R是有單位元1的交換環。理想 I 是R的極大理想的充分且必要條件是：商環R / I是域。 定理3 設 I 是環R的左理想，則 I 是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。 素理想：真理想I被稱為R的素理想，如果對於R的任意理想A，B， 可推出 或 。 素環：如果環R的零理想是素理想，則稱R是素環(或質環)。無零因子環是素環。在交換環R中，真理想 I 是素理想的充分且必要條件是：R / I是素環. 半素理想：設 I 是環R的理想，並且。如果對任意理想P，由，可得，則稱 I 是環R的半素理想。 顯然，半素理想是一類比素理想相對較弱條件的理想，因為素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。
環的定義一個環是由一個集合R和兩種二元運算 + 和 · 組成，這兩種運算可稱為加法和乘法。一個環必須遵守以下規律：(R, +)形成一個可交換群，其單位元稱作零元素，記作‘0’。即： (a + b) = (b + a) (a + b) + c = a + (b + c) 0 + a = a + 0 = a ∀a ∃(−a) 滿足 a + −a = −a + a = 0 (R, ·)遵守： 1·a = a·1 = a （僅限於含么環） (a·b)·c = a·(b·c) 乘法關於加法滿足分配律： a·(b + c) = (a·b) + (a·c) (a + b)·c = (a·c) + (b·c) 注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可簡寫為 ab。 此外，乘法是比加法優先的運算，所以 a + bc 其實是 a + (b·c)。幾類特殊的環含單位元環： 在環的定義中，對於乘法單位(1)的存在並沒有做明確的要求。如果一個環R對於乘法有單位元存在(稱么元素或么元或單位元，記作‘1’)，則這個環稱為含么環或含單位元環。 交換環： 雖然環的定義要求加法具有交換律，但並沒有要求乘法也具有交換律。如果我們上面定義的乘法具有交換性：ab=ba，那麼這個環就稱為交換環。 除環： 主條目：除環如果含單位元環R去掉關於加法的單位元0後，對於乘法形成一個群（一般來說環R對乘法形成半群），那麼這個環就稱為除環。除環不一定是交換環，比如四元數環。交換的除環就是域。 無零因子環： 一般來說環R對乘法形成半群，但R\{0}對乘法不一定形成半群。因為如果有兩個非零元素的乘積是零，R\{0}對乘法就不是封閉的。如果R\{0}對乘法仍然形成半群，那麼這個環就稱為無零因子環。 這個定義實際上等價於任意兩個非零元素的乘積非零。 整環： 主條目：整環整環是含單位元的無零因子的交換環。例如多項式環和整數環。 主理想環： 主條目：主理想環每一個理想都是主理想的整環稱為主理想環。 唯一分解環： 主條目：唯一分解環如果一個整環R中每一個非零非可逆元素都能唯一分解，稱R是唯一分解環. 商環： 主條目：商環素環： 主條目：素環例子：整數環是一個典型的交換且含單位環。 有理數環，實數域，複數域都是交換的含單位元環。 所有項的係數構成一個環A的多項式全體A[X]是一個環。稱為A上的多項式環。 n為正整數，所有n×n的實數矩陣構成一個環。 環的理想主條目：理想右理想： 令R是環， 那麼環R與其加法 + 構成阿貝爾群。令I是R的子集。那麼I稱為R的右理想 如果以下條件成立：(I, +) 構成 (R, +) 的子群。 對於任意 和 有 。 左理想： 類似地，I稱為R的左理想如果以下條件成立：(I, +) 構成 (R, +) 的子群。 對於任意 和 有 。 如果I既是右理想，也是左理想，那麼I就叫做雙邊理想，簡稱理想。例子： 整數環的理想：整數環Z只有形如的nZ理想。 除環的理想：除環中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。 一般性質： 定理1 在環中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。 定理2 在環中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。 對於R的兩個理想A，B，記。按定義不難證明下面的基本性質：(1) 如果A是R的左理想，則AB是R的左理想； (2) 如果B是R的右理想，則AB是R的右理想； (3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。 如果A環R的一個非空子集，令
=RA+AR+RAR+ZA，則
是環R的理想，這個理想稱為R中由A生成的理想, A稱為生成元集。同群的生成子群類似，
是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況： (1) 當是交換環時，
=RA+ZA (2) 當是有單位元1的環時，
=RAR (3) 當是有單位元交換環時，
=RA 主理想：如果是個n元集合，則記，稱是有限生成理想.特別當是單元素集時，稱為環R的主理想。注意作為生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是： 性質： 幾類特殊環中的主理想： (1) 如果是交換環，則 (2) 如果是有單位元的環，則 (3) 如果是有單位元的交換環，則 真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。 極大理想： 一個真理想I被稱為R的極大理想，如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集。 極大左理想：設 I 是環R的左理想，如果並且在 I 與R之間不存在真的左理想，則稱 I 是環R的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關係： (1)如果 I 是極大左理想，又是雙邊理想，則 I 是極大理想。 (2)極大理想未必是極大左理想。 除環的零理想是極大理想。在有單位元的環中，如果零理想是其極大理想,稱這種環是單環。除環是單環，域也是單環。反之則不對，即存在不是除環的單環。 定理1 在整數環Z中，由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素數。 定理2 設R是有單位元1的交換環。理想 I 是R的極大理想的充分且必要條件是：商環R / I是域。 定理3 設 I 是環R的左理想，則 I 是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。 素理想：真理想I被稱為R的素理想，如果對於R的任意理想A，B， 可推出 或 。 素環：如果環R的零理想是素理想，則稱R是素環(或質環)。無零因子環是素環。在交換環R中，真理想 I 是素理想的充分且必要條件是：R / I是素環. 半素理想：設 I 是環R的理想，並且。如果對任意理想P，由，可得，則稱 I 是環R的半素理想。 顯然，半素理想是一類比素理想相對較弱條件的理想，因為素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。