1 二階線性遞推數列求解方法 對於一階線性遞推數列，如由條件 a=2，a=2a+1，求{a}的通項公式．在這裡，由 a=2a+1 可以拼湊出一個等比數列，先求該新構造的等比數列的通項公式，進而求得{a}的通項公式．解法如下：a+1=2（a+1），設 b=a+1，則 b=a+1，那麼數列{b}是首項 b=a+1=3，公比 q=2 的等比數列，因此 b=3・2，所以 a=3・2-1．而對於如 a=2，a=5a+3 這種一眼看不出來的一階線性遞推數列，我們可以用待定係數來求解．解法如下：設 a+x=5（a+x），則 a=5a+4x，∴4x=3，∴x=，因此類似於前面的求法，可得 a=・5-． 而對於二階線性遞推數列，一個自然的想法是可否類比求解一階線性遞推數列的方法來求解數列的通項公式，如下題： 例１． 數列{a}滿足 a=1，a=2，a=6a-9a，求數列{a}的通項公式． 解：設 a-xa=y（a-xa），則 a=（x+y）a-xya，∴x+y=6xy=9，求得 x=3y=3，∴a-3a=3（a-3a），設 b=a-3a，則 b=a-3a．那麼數列{b}是以 b=a-3a=-1 為首項，公比為 3 的等比數列．∴b=-1・3，∴a-3a=-3① 由①式可得 a-3a=-3 3a-3a=-3 2 3a-3a=-3 …… 3a-3a=-3 把上面各式相加有 a-3a=-（n-1）3，∴a=-（n-4）3. 上題中求得的 x 和 y 正好是相等的，我們再來看下面的一道題目． 例２．數列{a}滿足 a=5，a=2，a=2a+3a（n≥3），求{a}的通項公式． 解：設 a-xa=y（a-xa），整理得 a=（y+x）a-xya，∴x+y=2xy=-3，解得：x=3y=-1 或 x=-1y=3． ∴a-3a=-（a-3a）或 a+a=3（a+a）， ∴a-3a=（-1）（a-3a）=（-1）×13 ② a+a=3（a+a）=3×7③ 由②③兩式得 4a=3×7+（-1）×13， ∴a=（3×7+（-1）×13）. 該題目中求得的 x 和 y 是不同的，所以構造的等比數列有兩種形式．類比於以上兩道題目的解答過程，事實上，對於一般的二階線性遞推數列，有如下結論. 定理１：若 x，x 是遞推關係 a=ca+ca（n≥3）的特徵方程 x=cx+c 的兩個根，則 （１）當 x≠x 時，a
1 二階線性遞推數列求解方法 對於一階線性遞推數列，如由條件 a=2，a=2a+1，求{a}的通項公式．在這裡，由 a=2a+1 可以拼湊出一個等比數列，先求該新構造的等比數列的通項公式，進而求得{a}的通項公式．解法如下：a+1=2（a+1），設 b=a+1，則 b=a+1，那麼數列{b}是首項 b=a+1=3，公比 q=2 的等比數列，因此 b=3・2，所以 a=3・2-1．而對於如 a=2，a=5a+3 這種一眼看不出來的一階線性遞推數列，我們可以用待定係數來求解．解法如下：設 a+x=5（a+x），則 a=5a+4x，∴4x=3，∴x=，因此類似於前面的求法，可得 a=・5-． 而對於二階線性遞推數列，一個自然的想法是可否類比求解一階線性遞推數列的方法來求解數列的通項公式，如下題： 例１． 數列{a}滿足 a=1，a=2，a=6a-9a，求數列{a}的通項公式． 解：設 a-xa=y（a-xa），則 a=（x+y）a-xya，∴x+y=6xy=9，求得 x=3y=3，∴a-3a=3（a-3a），設 b=a-3a，則 b=a-3a．那麼數列{b}是以 b=a-3a=-1 為首項，公比為 3 的等比數列．∴b=-1・3，∴a-3a=-3① 由①式可得 a-3a=-3 3a-3a=-3 2 3a-3a=-3 …… 3a-3a=-3 把上面各式相加有 a-3a=-（n-1）3，∴a=-（n-4）3. 上題中求得的 x 和 y 正好是相等的，我們再來看下面的一道題目． 例２．數列{a}滿足 a=5，a=2，a=2a+3a（n≥3），求{a}的通項公式． 解：設 a-xa=y（a-xa），整理得 a=（y+x）a-xya，∴x+y=2xy=-3，解得：x=3y=-1 或 x=-1y=3． ∴a-3a=-（a-3a）或 a+a=3（a+a）， ∴a-3a=（-1）（a-3a）=（-1）×13 ② a+a=3（a+a）=3×7③ 由②③兩式得 4a=3×7+（-1）×13， ∴a=（3×7+（-1）×13）. 該題目中求得的 x 和 y 是不同的，所以構造的等比數列有兩種形式．類比於以上兩道題目的解答過程，事實上，對於一般的二階線性遞推數列，有如下結論. 定理１：若 x，x 是遞推關係 a=ca+ca（n≥3）的特徵方程 x=cx+c 的兩個根，則 （１）當 x≠x 時，a