運用球面座標、設：

x = r cosθ sinφ

y = r sinθ sinφ

z = r cosφ

=> ∂x/∂r = cosθ sinφ、∂x/∂φ = r cosθ cosφ、∂x/∂θ = - r sinθ sinφ

=> ∂y/∂r = sinθ sinφ、∂y/∂φ = r sinθ cosφ、∂y/∂θ = r cosθ sinφ

=> ∂z/∂r = cosφ、∂z/∂φ = - r sinφ、∂z/∂θ = 0

——————————————————————————————————————————

J = ∂(x,y,z)/∂(r,φ,θ)

= | ∂x/∂r | ∂x/∂φ | ∂x/∂θ |

= | ∂y/∂r | ∂y/∂φ | ∂y/∂θ |

= | ∂z/∂r | ∂z/∂φ | ∂z/∂θ |

——————————————————————————————————————————

= | cosθ sinφ | r cosθ cosφ | - r sinθ sinφ |

= | sinθ sinφ | r sinθ cosφ | r cosθ sinφ |

= | cosφ | - r sinφ | 0 |

——————————————————————————————————————————

= (- r sinθ sinφ)[ (sinθ sinφ)(- r sinφ) - (r sinθ cosφ)(cosφ)]

- (r cosθ sinφ)[ (cosθ sinφ)(- r sinφ) - (r cosθ cosφ)(cosφ) ]

= (- r sinθ sinφ)(- r sinθ sin²φ - r sinθ cos²φ) - (r cosθ sinφ)(- r cosθ sin²φ - r cosθ cos²φ)

= (- r sinθ sinφ)(- r sinθ) - (r cosθ sinφ)(- r cosθ)

= r² sin²θ sinφ + r² cos²θ sinφ

= r² sinφ

——————————————————————————————————————————

=> dxdydz = | J | dr dφ dθ = r² sinφ dr dφ dθ

——————————————————————————————————————————

於是x² + y² + z²

= (r² cos²θ sin²φ + r² sin²θ sin²φ) + r² cos²φ

= r² sin²φ + r² cos²φ

= r²

——————————————————————————————————————————

∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dx dy dz

= ∫∫∫Ω r² * r² sinφ dr dφ dθ

= ∫[0→2π] dθ ∫[0→π] sinφ dφ ∫[0→r] r⁴ dr

= 2π * 2 * r⁵/5

= (4/5)πr⁵