高中不會學不過競賽課程有的斐波那契數列,“斐波那契數列”的發明者，是義大利數學家列昂納多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】 很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。 【該數列有很多奇妙的屬性】比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近黃金分割0.6180339887…… 還有一項性質，從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1。如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。如果任意挑兩個數為起始，比如5、-2.4，然後兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你將發現隨著數列的發展，前後兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前後兩項之積的差值也交替相差某個值。斐波那契數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。【斐波那契數列別名】斐波那契數列又因數學家列昂納多•斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。斐波那契數列一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？ 我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下： 第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對; 兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對; 三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對; －－－－－－ 依次類推可以列出下表： 經過月數：0123456789101112 兔子對數：1123581321345589144233 表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。 這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）【斐波那挈數列通項公式的推導】斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)顯然這是一個線性遞推數列。通項公式的推導方法一：利用特徵方程線性遞推數列的特徵方程為：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5，C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】通項公式的推導方法二：普通方法設常數r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]則r+s=1, -rs=1n≥3時，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]將以上n-2個式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]∵s=1-r，F(1)=F(2)=1上式可化簡得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那麼：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【C語言程式】main() { long fib[40] = {1,1}; int i; for(i=2;i
高中不會學不過競賽課程有的斐波那契數列,“斐波那契數列”的發明者，是義大利數學家列昂納多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】 很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。 【該數列有很多奇妙的屬性】比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近黃金分割0.6180339887…… 還有一項性質，從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1。如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。如果任意挑兩個數為起始，比如5、-2.4，然後兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你將發現隨著數列的發展，前後兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前後兩項之積的差值也交替相差某個值。斐波那契數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。【斐波那契數列別名】斐波那契數列又因數學家列昂納多•斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。斐波那契數列一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？ 我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下： 第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對; 兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對; 三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對; －－－－－－ 依次類推可以列出下表： 經過月數：0123456789101112 兔子對數：1123581321345589144233 表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。 這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）【斐波那挈數列通項公式的推導】斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)顯然這是一個線性遞推數列。通項公式的推導方法一：利用特徵方程線性遞推數列的特徵方程為：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5，C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】通項公式的推導方法二：普通方法設常數r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]則r+s=1, -rs=1n≥3時，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]將以上n-2個式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]∵s=1-r，F(1)=F(2)=1上式可化簡得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那麼：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【C語言程式】main() { long fib[40] = {1,1}; int i; for(i=2;i