二元一次方程組(一)
一、重點、難點
1、二元一次方程及其解集
(1)含有兩個未知數，並且未知數項的次數是1的整式方程叫二元一次方程．
(2)二元一次方程的解是無數多組．
2、二元一次方程組和它的解
(1)含有兩個相同未知量的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．
(2)使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值叫做二元一次方程組的解．
3、二元一次方程組的解法
(1)代入消元法：把其中的一個方程的某一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示，然後代入另一個方程，就可以消去一個未知數．
(2)加減消元法：先利用等式的性質，用適當的數同乘以需要變形的方程的兩邊，使兩個方程中某個未知數的係數的絕對值相等，然後把兩個方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未知數．
4、三元一次方程組及其解法
(1)含有三個未知數，每個方程的未知數的次數都是1，並且是由三個方程組成的方程組叫做三元一次方程組．
(2)解三元一次方程組的基本思想是用消元的方法把“三元”轉化為“二元”(將未知問題轉化為已知問題，再將“二元”轉化為“一元”)．
二、例題分析：
例1: 在方程2x-3y=6中，1)用含x的代數式表示y．2)用含y的代數式表示x．
答案：1)y= x-2； 2)x=3+ y
例2:已知x+y=0，且|x|=2，求y+2的值．
解：∵|x|=2
∴x=2,或x=-2
又∵x+y=0
∴y=-2,或y=2
故y+2=0,或y+2=4
例3：已知方程組 的解是 ，求a與b的值
分析：方程組的解就是適合原方程組，所以將 代入方程可以得到關於a,b的新的方程。
解：因為方程組
的解是
所以
（1）×2得2a-4=2b (3)
（3）-（2）得-5=2b-2
∴b=-
將b=- 代入（1）得a=
∴
答案：a= , b=-
例4：方程x+3y=10在正整數範圍內的解有_____組，它們是________________。
答案：3；
例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式為______．
答案：3x-5y+17=0
例6：已知關於x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。
當 k=_____時，方程為一元一次方程，
當 k=_____時，方程為二元一次方程。
分析：題目中沒有規定未知數，所以x,y都可以。因此注意分兩種可能。
解：第一問∵關於x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為一元一次方程，
∴ （1）或 （2）
方程組（1）的解為k=-1,(2)無解
∴當k=-1時原方程為一元一次方程
第二問∵關於x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為二元一次方程
解得k=1
∴當k=1時原方程為二元一次方程
例7：二元一次方程組 的解中x與y互為相反數，求a的值
解：∵原方程組的解中x與y互為相反數
∴x=-y （1）
將（1）代入原方程組，得
∴a=
二元一次方程組（二）
一、對應用題的觀察和分析
利用二元一次方程組解有關的應用題時，對應用題進行觀察和分析，要著重注意如下三點：
(1)題中有哪幾個未知數(包括明顯的未知數和隱含的未知數)？
(2)題中的未知數與已知內容之間有哪幾個相等關係(包括明顯的相等關係和隱含的相等關係)？——題中有幾個未知數，一般就要找出幾個相等關係.
(3)設立哪幾個未知數，利用哪幾個相等關係，可以較方便地把其餘未知數用所設未知數的代數式表示出來？(利用剩下的等量關係列方程組.)
二、常見幾類應用題及其基本數量關係
明確各類應用題中的基本數量關係，是正確列出方程的關鍵.常遇到的幾類應用題及其基本關係如下：
1.行程問題：基本關係式為: 速度×時間=距離
2.工程問題：基本關係式為:
工作效率×工作時間=工作總量
計劃數量×超額百分數=超額數量
計劃數量×實際完成百分數=實際數量
3.百分比濃度問題：基本關係式為: 溶液×百分比濃度=溶質
4.混合物問題：基本關係式為:
各種混合物重量之和=混合後的總重量
混合前純物重量=混合後純物重量
混合物重量×含純物的百分數=純物的重量
5.航行問題：基本關係式為:
靜水速度+水速=順水速度
靜水速度-水速=逆水速度
6.數字問題要注意各數位上的數字與數位的關係.
7.倍比問題，要注意一些基本關係術語，如：倍、分、大、小等.
二元一次方程組(一)
一、重點、難點
1、二元一次方程及其解集
(1)含有兩個未知數，並且未知數項的次數是1的整式方程叫二元一次方程．
(2)二元一次方程的解是無數多組．
2、二元一次方程組和它的解
(1)含有兩個相同未知量的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．
(2)使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值叫做二元一次方程組的解．
3、二元一次方程組的解法
(1)代入消元法：把其中的一個方程的某一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示，然後代入另一個方程，就可以消去一個未知數．
(2)加減消元法：先利用等式的性質，用適當的數同乘以需要變形的方程的兩邊，使兩個方程中某個未知數的係數的絕對值相等，然後把兩個方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未知數．
4、三元一次方程組及其解法
(1)含有三個未知數，每個方程的未知數的次數都是1，並且是由三個方程組成的方程組叫做三元一次方程組．
(2)解三元一次方程組的基本思想是用消元的方法把“三元”轉化為“二元”(將未知問題轉化為已知問題，再將“二元”轉化為“一元”)．
二、例題分析：
例1: 在方程2x-3y=6中，1)用含x的代數式表示y．2)用含y的代數式表示x．
答案：1)y= x-2； 2)x=3+ y
例2:已知x+y=0，且|x|=2，求y+2的值．
解：∵|x|=2
∴x=2,或x=-2
又∵x+y=0
∴y=-2,或y=2
故y+2=0,或y+2=4
例3：已知方程組 的解是 ，求a與b的值
分析：方程組的解就是適合原方程組，所以將 代入方程可以得到關於a,b的新的方程。
解：因為方程組
的解是
所以
（1）×2得2a-4=2b (3)
（3）-（2）得-5=2b-2
∴b=-
將b=- 代入（1）得a=
∴
答案：a= , b=-
例4：方程x+3y=10在正整數範圍內的解有_____組，它們是________________。
答案：3；
例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式為______．
答案：3x-5y+17=0
例6：已知關於x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。
當 k=_____時，方程為一元一次方程，
當 k=_____時，方程為二元一次方程。
分析：題目中沒有規定未知數，所以x,y都可以。因此注意分兩種可能。
解：第一問∵關於x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為一元一次方程，
∴ （1）或 （2）
方程組（1）的解為k=-1,(2)無解
∴當k=-1時原方程為一元一次方程
第二問∵關於x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為二元一次方程
∴
解得k=1
∴當k=1時原方程為二元一次方程
例7：二元一次方程組 的解中x與y互為相反數，求a的值
解：∵原方程組的解中x與y互為相反數
∴x=-y （1）
將（1）代入原方程組，得
∴a=
二元一次方程組（二）
一、對應用題的觀察和分析
利用二元一次方程組解有關的應用題時，對應用題進行觀察和分析，要著重注意如下三點：
(1)題中有哪幾個未知數(包括明顯的未知數和隱含的未知數)？
(2)題中的未知數與已知內容之間有哪幾個相等關係(包括明顯的相等關係和隱含的相等關係)？——題中有幾個未知數，一般就要找出幾個相等關係.
(3)設立哪幾個未知數，利用哪幾個相等關係，可以較方便地把其餘未知數用所設未知數的代數式表示出來？(利用剩下的等量關係列方程組.)
二、常見幾類應用題及其基本數量關係
明確各類應用題中的基本數量關係，是正確列出方程的關鍵.常遇到的幾類應用題及其基本關係如下：
1.行程問題：基本關係式為: 速度×時間=距離
2.工程問題：基本關係式為:
工作效率×工作時間=工作總量
計劃數量×超額百分數=超額數量
計劃數量×實際完成百分數=實際數量
3.百分比濃度問題：基本關係式為: 溶液×百分比濃度=溶質
4.混合物問題：基本關係式為:
各種混合物重量之和=混合後的總重量
混合前純物重量=混合後純物重量
混合物重量×含純物的百分數=純物的重量
5.航行問題：基本關係式為:
靜水速度+水速=順水速度
靜水速度-水速=逆水速度
6.數字問題要注意各數位上的數字與數位的關係.
7.倍比問題，要注意一些基本關係術語，如：倍、分、大、小等.