有人認為數學是真實存在的，這批人絕大多數被統歸於“數學柏拉圖主義”，例如哥德爾、弗雷格。主要的觀點是：

數學是真實存在的，數學真即為與數學實體相一致；

數學實在是抽象實在而非具體實在。

還有一類以Holism的觀點認同數學實在，但是這種觀點其實更接近實用主義或自然主義。例如奎因。

也有不認同數學實在的。例如虛構主義。

上世紀主流的三大綱領，邏輯主義認為數學可以被完全還原為邏輯；形式主義認為數學是符號化的形式語言；直覺主義認為數學是直覺的構建物。但是它們並不必然戰隊柏拉圖主義和反柏拉圖主義。例如邏輯主義和形式主義中有反柏拉圖主義者，也有柏拉圖主義者。直覺主義可能會更多地反柏拉圖主義。這一點我等著高手來澄清。

19世紀恩格斯這樣來論述數學的本質：“純數學的物件是現實世界的空間形式和數量關係”。根據恩格斯的論述，數學的定義為：數學是研究現實世界中數量關係和空間形式的科學。這個定義是經典的，概括了當時數學的發展，即使在目前也概括了數學的絕大部分。

中國目前的課程標準在其基本理念中提出：“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分”，在教材編寫建議中建議：教材可以在適當的地方介紹一些有關數學家的故事、數學趣聞與數學史料，使學生了解數學知識的產生與發展首先源於人類生活的需要，體會數學在人類發展歷史中的作用，激發學生學習數學的興趣。

儘管我們不得不尷尬地承認數學的基礎並不牢固，但是數學仍是人類思想中最貴重的寶石，我們必須將其妥為保管並節儉使用。它處於理性的前列，毫無疑問將繼續如此，就算是進一步的研究複查又發現新的缺陷。

1. 數學無處不在、無所不能。這些正是會讓人們聯想到神的特性。

神學家有“神”，哲學家有“存在”，科學家有“數學”。懷特海曾寫道：“讓我們把數學的追求看作是人類精神中神賜的瘋狂吧。”瘋狂，也許可以這麼說，但是，毫無疑問，它是神賜的。

儘管數學是一項純粹的人類創造，但它為我們開闢了通往自然的某些領域的道路，使我們走得比預想更遠。實際上，和現實距離如此遙遠的抽象概念能獲得巨大的成就，這本身就不可思議。數學解釋也許確係人為，它也許是一個童話，但卻是一個合乎道義的童話。即使我們不易解釋人類的理性，但它卻有力量。

2. 是宇宙的語言

正如英國物理學家詹姆斯.瓊斯(James Jeans,1877-1946)曾指出的:“宇宙似乎是由一位理論數學家設計的。”數學似乎不僅是描述和解釋整個字宙最有效的工具，而且可以用來解釋最複雜的人類活動。

伽利略在《試金者》中有這樣一段話：“哲學寫在這部稱為宇宙的大書上，這本書永遠開啟著，接受我們的凝視。但要是我們不先掌握它的語言，不去解讀它賴以記錄的字元，那我們就不可能理解這部大書。它以數學語言寫就，其字元是三角形、圓形和其他幾何圖形。沒有這些，凡人連一個詞也讀不懂；沒有這些，人們就在暗黑迷宮中徘徊”。

這是一段偉大的話語。偉大之處在於它道出了代數學與幾何學勢必合一，並將成為解釋這個世界的科學語言的不可阻擋的趨勢。

今天，無論是物理學家試圖創立一種關於宇宙的新理論，股票市場分析員苦苦思索以預測下一輪股市暴跌，神經生物學家構建大腦功能模型，還是軍事情報專家最佳化各種軍事資源配置，他們都要使用數學。

透過哈雷彗星，萬有引力的理論和物理的數學化用光彩奪目的事實，向世人證實了它們令人難以置信的強大力量。

3. 模糊的哲學與精確的數學——人類的望遠鏡與顯微鏡（數學大師張景中的觀點）

哲學，在某種意義上是望遠鏡。當旅行者到達一個地方時，他不再用望遠鏡觀察這個地方了，而是把它用於觀察前方。

數學則相反，它是最容易進入成熟的科學，獲得了足夠豐富事實的科學，能夠提出規律性的假設的科學。它好像是顯微鏡，只有把物件拿到手中，甚至切成薄片，經過處理，才能用顯微鏡觀察它。

哲學從一門學科退出，意味著這門學科的誕生。數學滲入一門學科，甚至控制一門學科，意味著這門學科達到成熟的階段。

哲學的地盤縮小，數學的領域擴大，這是科學發展的結果，是人類智慧的勝利。但是，宇宙的奧秘無窮。向前看，望遠鏡的視野不受任何限制。新的學科將不斷湧現，而在它們出現之前，哲學有許多事可做。

萊布尼茲不僅是一個大數學家，還是一個大哲學家，他在德國國王宮廷講學時，肯定地說:“世界上沒有兩件事物是完全一樣的。事後，聽講的宮女紛紛在花園裡找尋樹葉加以比較，她們看到，確實沒有兩片相同的樹葉。

萊布尼茲的命題自身證明了自身:如果完全一樣，就不叫做個兩個事物，而是同一個事物了。

“科學的盡頭是哲學，哲學的盡頭是宗教”，這是網路上一度流行的錯誤說法，然而，每一個科學理論都有它的邊界。在這個邊界之外，科學家以現有的手段暫時還沒有辦法觸及。

4. 數學是人類精神虐待？

小時候，並不覺得數學頭大，但是到了微積分、線性代數，頭就開始大了，到了機率論、離散數學、拓撲學、模糊數學，一個頭就兩個大了，數學的英文縮寫math真的就是文中所說的Mental Abuse To Humans（人類精神虐待）。真真佩服搞數學的專業人！

希爾伯特在1900年提出的23個問題，奠定了20世紀數學的輝煌。在此基礎上展現出的理論力量，正在悄無聲息地引領我們進入21世紀。大資料資訊革命、人工智慧、醫療生物科技等等共同構建了21世紀的科技前沿。這裡面的每一個紮實的進步，都與人類的命運福祉息息相關，都需要數學的突破，需要更加深刻的問題來推動。

在數學的帶動下，現代科學亦步亦趨地走向了精確科學。藉助於強大的數學工具，科學就能煥發出更加彭勃的生命力。