正弦、餘弦的和差化積

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

　　法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過程

　　因為

　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,

　　將以上兩式的左右兩邊分別相加,得

　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,

　　設 α+β=θ,α-β=φ

　　那麼

　　α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

　　把α,β的值代入,即得

　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

　　法2

　　根據尤拉公式,e ^Ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

口訣

　　正加正,正在前,餘加餘,餘並肩

　　正減正,餘在前,餘減餘,負正弦

　　反之亦然

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正切的和差化積

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附證明）

cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

證明：左邊=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右邊

　　∴等式成立