W a l l i s Wallis Wallis公式(點火公式)：

I n = ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x = ∫ 0 π 2 ( c o s n x ) d x = { ( n − 1 ) ! ! n ! ! × π 2 , n 為 正 偶 數 ( n − 1 ) ! ! n ! ! × 1 , n 為 大 於 1 的 奇 數 I_n=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx\\=

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(n−1)!!n!!×π2,n為正偶數(n−1)!!n!!×1 ,n為大於1的奇數

{(n−1)!!n!!×π2,n為正偶數(n−1)!!n!!×1 ,n為大於1的奇數

I

n

=∫

0

2

π

(sin

n

x)dx=∫

0

2

π

(cos

n

x)dx

=

⎩

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎧

n!!

(n−1)!!

×

2

π

,n為正偶數

n!!

(n−1)!!

×1 ,n為大於1的奇數

特別地： n = 1 時 → ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x = ∫ 0 π 2 ( c o s n x ) d x = 1 n=1時\rightarrow \large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx=1 n=1時→∫

0

2

π

(sin

n

x)dx=∫

0

2

π

(cos

n

x)dx=1

推廣：

∫ 0 π ( s i n n x ) d x = 2 ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x \large\int_{0}^\pi(sin^nx)dx=2\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx ∫

0

π

(sin

n

x)dx=2∫

0

2

π

(sin

n

x)dx

∫ 0 π ( c o s n x ) d x = { 0 , n 為 正 奇 數 2