由y=shⅹ得y=[e^x-e^(-ⅹ)]/2，2ye^x=e^(2ⅹ)-1，(e∧ⅹ)^2-2ye^x-1=0，e^x=[2y±√(4y^2+4)]/2=y±√(y^2+1)，因為e^ⅹ>0，所以e^x=y+√(y^2+1)所以ⅹ=ln[y+√(y^2+1)]，所以所求反函式為y=ln[ⅹ+√(x^2+1)]

對於 y = shx 的反函式來說，y就是自變數，x就是函數了。

但人們習慣用y來表示函式，用x來表示自變數。

所以，先按照反函式中自變數和函式的表示方式，表達正函式。也就是在正函式 y = shx 中，把x,y互換。

就變成了

x = shy = [e^y - e^(-y)]/2。

在這個形式下，還是要發現 y 關於 x 的表示式。

所以，先令 u = e^y >0, [找到u 關於x的表示式]

x = [ u - 1/u ]/2

得到 u = u(x) = x + (x^2 + 1)^(1/2)

[另外一個解 u = x - (x^2 + 1)^(1/2) < 0,舍掉了 ]

再根據

u = e^y = x + (x^2 + 1)^(1/2)

解出，y 關於 x的表示式，

y = ln[x + (x^2 + 1)^(1/2)]

從而得到反函式

y = ln[x + (x^2 + 1)^(1/2)]