先觀察不等式,然後構造一個合適的函式,再用拉格朗日公式,但要注意區間,說是這麼說但讀者還在這方面多下功夫,找些例題多琢磨琢磨。
舉個例子，利用拉格朗日中值定理證明不等式
當h＞0時,h／（1＋h^2）＜arctan h＜h
另f（x）＝arctanx,則f"（x）＝1/（1＋x^2） 由拉格朗日中值定理有存在實數c,使得f（x）－f（x0）＝f"（c）（x－x0） 再此取x0＝0,則f（0）＝0 應用上面的等式,便有arctanx=x/(1+c^2),其中0＜c＜x 又由0＜c＜x知1＜1＋c^2＜1＋x^2 所以1/（1＋x^2） ＜1/（1＋c^2） ＜1 又因為x＞0,所以x/(1+x^2)。
用拉格朗日中值定理證明下列不等式 a>b>0,(a-b)/a
在區間[b.a],f(x)=lnx滿足定理條件.
知f"(x)=1/x.
用定理,知存在c: b 使:lna-lnb=(1/c)*(a-b)
即ln(a/b)=(a-b)/c
注意到條件:0有:(a-b)/a <(a-b)/c <(a-b)/b.
即有::(a-b)/a。
先觀察不等式,然後構造一個合適的函式,再用拉格朗日公式,但要注意區間,說是這麼說但讀者還在這方面多下功夫,找些例題多琢磨琢磨。
舉個例子，利用拉格朗日中值定理證明不等式
當h＞0時,h／（1＋h^2）＜arctan h＜h
另f（x）＝arctanx,則f"（x）＝1/（1＋x^2） 由拉格朗日中值定理有存在實數c,使得f（x）－f（x0）＝f"（c）（x－x0） 再此取x0＝0,則f（0）＝0 應用上面的等式,便有arctanx=x/(1+c^2),其中0＜c＜x 又由0＜c＜x知1＜1＋c^2＜1＋x^2 所以1/（1＋x^2） ＜1/（1＋c^2） ＜1 又因為x＞0,所以x/(1+x^2)。
用拉格朗日中值定理證明下列不等式 a>b>0,(a-b)/a
在區間[b.a],f(x)=lnx滿足定理條件.
知f"(x)=1/x.
用定理,知存在c: b 使:lna-lnb=(1/c)*(a-b)
即ln(a/b)=(a-b)/c
注意到條件:0有:(a-b)/a <(a-b)/c <(a-b)/b.
即有::(a-b)/a。