所有數學專業學生必修課程：
數學分析III analysis calculus 5
高等代數II algebra algebra 5
程式設計 CS cs 4
常微分方程 analysis ODE 3
抽象代數 algebra algebra 3
複變函式 analysis 函式論 3
實變函式 analysis 函式論 3
數學模型 applied math applied math 3
機率論 P&S probability 3
泛函分析 analysis 泛函分析 3
數理方程 analysis PDE 3
基礎力學 applied math applied math 3
數學與應用數學專業必修課程：
以上＋
拓撲學 geometry topology 3
微分幾何 geometry geometry 3
資訊與計算科學專業分4個方向，每個方向要求的課程不一樣，比如說計算數學方向要求學 微分方程數值解法 以及其他一些計算類的選修課程。
總的來說，必修課就是數學專業本科的一些骨幹課程，是所有合格的數學專業本科生都應當掌握的基礎知識。所以也沒什麼挑肥揀瘦的。。本院的課程設定，信計方向的學生不用修拓撲與微分幾何。
至於選修課程，本人上過的都組合數學、數論基礎，旁聽過抽代續論、應用偏微分方程、複分析， etc.其實雖然列表裡面有這麼多選修課，但並不是都能開出來。比如說多複變函式論，本院能開多復變的老師大概也就一兩個。。而且實際上本科生能聽的課程資源不僅僅是本科課程，研究生課程也可以隨意旁聽。本人也旁聽過一兩門研究生課。
所以這些課程都在學什麼呢？
其實作為一個數學學生，感覺這個問題還挺難回答的。因為這些東西對我們就像加減乘除四則運算一樣自然。同時這些課程內容又很多。我沒辦法用幾句話很好地總結每門課大致在學什麼，我就隨便說說分析、幾何／拓撲、代數3個大方向大致在幹些什麼吧。說得很粗略，也都是個人見解，不一定準確。不過話還是說在前面：要掌握某個數學分支的內容和方法，只能是透過自己的學習和探索，聽別人的介紹不過是走馬觀花，自己並不能得到真正的理解。
分析方向：極粗略地講，就是分析 函式／分佈／微分方程的解 等一類數學物件的性質。比如說PDE裡面對解進行先驗估計，對解的正則性的分析；比如說古典的Fourier分析裡面分析某個函式的Fourier級數的收斂性。這個方向的特點在於使用的工具比較細緻，主要表現形式在於運算和不等式估計。運算過程中的細小錯誤有可能導致整個結論的錯誤。這種錯誤甚至在一些大師的權威教材裡面也時常出現。所以分析適合細心同時又有耐心的人學。
幾何／拓撲方向：本人比較感興趣的方向。主要是研究曲線、曲面、高維流形、代數簇、scheme等幾何物件的定性的或者定量的性質。拓撲關注的是比較“軟”的性質，也就是在同胚（或者微分同胚）或者同倫變換下不變的東西。微分幾何則更具有“剛性”。微分幾何考慮的是在拓撲流形（有可能帶奇點，所謂的orbifold）上加個度量（可以是Riemann也可以是Lorentz也可以是Finsler），再去考慮跟度量有關的一些幾何現象（所謂度量你可以理解成一把尺子，在流形上可以量曲線的長度，在一般的拓撲空間上是沒有這樣一把尺子的）。至於代數幾何，考慮的物件的“剛性”比微分幾何更強。復代數簇相當於複流形，複流形之間的全純變換是非常剛性的變換。所謂剛性，你可以直觀地理解為“自由度”，剛性越強，可以選擇的餘地就越少。
代數方向：本人弱項。主要是研究各種代數結構，比如群環模域等等，以及這些代數結構的“表示”。初次接觸本科抽象代數的同學，可能會覺得代數比較形式化，比較抽象，事實上各種代數物件都是有“數學意義”的，比如說交換代數可以被納入到（經典的）代數幾何的框架內，從而交換代數中的結論都有幾何含義。
樓主還提到第四個方向，應數方向。但本人不是學應數的，一點都不瞭解，沒什麼發言權。不過虛的東西還是可以扯一扯的。應數的philosophy就是“把數學應用出去”。應用在什麼領域？物理化學生物，經濟金融，社科，甚至是音樂藝術，只要能用到數學的地方都有應數的身影。用什麼數學工具？無所謂，不管高階低端，直觀還是抽象，只要用起來方便且管用就行。
必須指出的是，以上說的數學方向，並不是嚴格的數學分支，只是一些大的思想和方法技巧而已。不同數學領域並不是互相孤立的，相互之間也會有很多聯絡，有些聯絡還是很深刻的。不過本人才疏學淺，也不能多說什麼。
以上都是個人極粗略的理解，只是為了給非數學科班學生一點點感覺，各位數學大神請手下留情，求輕虐。。
OK,第二個問題：學了有什麼用？
最簡單的答案是：沒什麼用。
追求純數的人，基本都不太會關注自己學的東西在實際生活中到底有什麼用，就是好玩而已。在這裡我突然想quote這個問題：為什麼有人喜歡數學？ - 為什麼有人喜歡 X。排名第二的答案是一篇我覺得寫得還不錯的英語文章，同時也很好地解釋了包括我在內的相當一部分人學數學的動機。如果真想了解數學專業學生的想法的話，這篇文章值得一讀～
其實很多時候我都感覺學數學和學藝術有點像。藝術是對美的追求，數學是對真理的追求。兩者好像都沒什麼實際應用價值，但是如果社會上沒有這兩樣東西，又總覺得少了些什麼～
所有數學專業學生必修課程：
數學分析III analysis calculus 5
數學分析III analysis calculus 5
數學分析III analysis calculus 5
高等代數II algebra algebra 5
高等代數II algebra algebra 5
程式設計 CS cs 4
常微分方程 analysis ODE 3
抽象代數 algebra algebra 3
複變函式 analysis 函式論 3
實變函式 analysis 函式論 3
數學模型 applied math applied math 3
機率論 P&S probability 3
泛函分析 analysis 泛函分析 3
數理方程 analysis PDE 3
基礎力學 applied math applied math 3
數學與應用數學專業必修課程：
以上＋
拓撲學 geometry topology 3
微分幾何 geometry geometry 3
資訊與計算科學專業分4個方向，每個方向要求的課程不一樣，比如說計算數學方向要求學 微分方程數值解法 以及其他一些計算類的選修課程。
總的來說，必修課就是數學專業本科的一些骨幹課程，是所有合格的數學專業本科生都應當掌握的基礎知識。所以也沒什麼挑肥揀瘦的。。本院的課程設定，信計方向的學生不用修拓撲與微分幾何。
至於選修課程，本人上過的都組合數學、數論基礎，旁聽過抽代續論、應用偏微分方程、複分析， etc.其實雖然列表裡面有這麼多選修課，但並不是都能開出來。比如說多複變函式論，本院能開多復變的老師大概也就一兩個。。而且實際上本科生能聽的課程資源不僅僅是本科課程，研究生課程也可以隨意旁聽。本人也旁聽過一兩門研究生課。
所以這些課程都在學什麼呢？
其實作為一個數學學生，感覺這個問題還挺難回答的。因為這些東西對我們就像加減乘除四則運算一樣自然。同時這些課程內容又很多。我沒辦法用幾句話很好地總結每門課大致在學什麼，我就隨便說說分析、幾何／拓撲、代數3個大方向大致在幹些什麼吧。說得很粗略，也都是個人見解，不一定準確。不過話還是說在前面：要掌握某個數學分支的內容和方法，只能是透過自己的學習和探索，聽別人的介紹不過是走馬觀花，自己並不能得到真正的理解。
分析方向：極粗略地講，就是分析 函式／分佈／微分方程的解 等一類數學物件的性質。比如說PDE裡面對解進行先驗估計，對解的正則性的分析；比如說古典的Fourier分析裡面分析某個函式的Fourier級數的收斂性。這個方向的特點在於使用的工具比較細緻，主要表現形式在於運算和不等式估計。運算過程中的細小錯誤有可能導致整個結論的錯誤。這種錯誤甚至在一些大師的權威教材裡面也時常出現。所以分析適合細心同時又有耐心的人學。
幾何／拓撲方向：本人比較感興趣的方向。主要是研究曲線、曲面、高維流形、代數簇、scheme等幾何物件的定性的或者定量的性質。拓撲關注的是比較“軟”的性質，也就是在同胚（或者微分同胚）或者同倫變換下不變的東西。微分幾何則更具有“剛性”。微分幾何考慮的是在拓撲流形（有可能帶奇點，所謂的orbifold）上加個度量（可以是Riemann也可以是Lorentz也可以是Finsler），再去考慮跟度量有關的一些幾何現象（所謂度量你可以理解成一把尺子，在流形上可以量曲線的長度，在一般的拓撲空間上是沒有這樣一把尺子的）。至於代數幾何，考慮的物件的“剛性”比微分幾何更強。復代數簇相當於複流形，複流形之間的全純變換是非常剛性的變換。所謂剛性，你可以直觀地理解為“自由度”，剛性越強，可以選擇的餘地就越少。
代數方向：本人弱項。主要是研究各種代數結構，比如群環模域等等，以及這些代數結構的“表示”。初次接觸本科抽象代數的同學，可能會覺得代數比較形式化，比較抽象，事實上各種代數物件都是有“數學意義”的，比如說交換代數可以被納入到（經典的）代數幾何的框架內，從而交換代數中的結論都有幾何含義。
樓主還提到第四個方向，應數方向。但本人不是學應數的，一點都不瞭解，沒什麼發言權。不過虛的東西還是可以扯一扯的。應數的philosophy就是“把數學應用出去”。應用在什麼領域？物理化學生物，經濟金融，社科，甚至是音樂藝術，只要能用到數學的地方都有應數的身影。用什麼數學工具？無所謂，不管高階低端，直觀還是抽象，只要用起來方便且管用就行。
必須指出的是，以上說的數學方向，並不是嚴格的數學分支，只是一些大的思想和方法技巧而已。不同數學領域並不是互相孤立的，相互之間也會有很多聯絡，有些聯絡還是很深刻的。不過本人才疏學淺，也不能多說什麼。
以上都是個人極粗略的理解，只是為了給非數學科班學生一點點感覺，各位數學大神請手下留情，求輕虐。。
OK,第二個問題：學了有什麼用？
最簡單的答案是：沒什麼用。
追求純數的人，基本都不太會關注自己學的東西在實際生活中到底有什麼用，就是好玩而已。在這裡我突然想quote這個問題：為什麼有人喜歡數學？ - 為什麼有人喜歡 X。排名第二的答案是一篇我覺得寫得還不錯的英語文章，同時也很好地解釋了包括我在內的相當一部分人學數學的動機。如果真想了解數學專業學生的想法的話，這篇文章值得一讀～
其實很多時候我都感覺學數學和學藝術有點像。藝術是對美的追求，數學是對真理的追求。兩者好像都沒什麼實際應用價值，但是如果社會上沒有這兩樣東西，又總覺得少了些什麼～