一、 等差數列 如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。 等差數列的通項公式為：an=a1n+(n-1)d (1) 前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬於正整數。 從(1)式可以看出，an是n的一次函式(d≠0)或常數函式(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由(2)式知，Sn是n的二次函式(d≠0)或一次函式(d=0，a1≠0)，且常數項為0。 在等差數列中，等差中項：一般設為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項，且為數列的平均數。 且任意兩項am，an的關係為：an=am+(n-m)d 它可以看作等差數列廣義的通項公式。 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數列，等等。 和＝（首項＋末項）×項數÷2 項數＝（末項-首項）÷公差＋1 首項=2和÷項數-末項 末項=2和÷項數-首項 末項=首項+（項數-1）×公差 等差數列的應用： 日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別 時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。 若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。 3．等差數列的基本性質 ⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d． ⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd． ⑶若、為等差數列，則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數)也是等差數列． ⑷對任何m、n ，在等差數列中有：a = a + (n－m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性． ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數個數相等），那麼當為等差數列時，有：a + a + a + … = a + a + a + … ． ⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差)． ⑺如果是等差數列，公差為d，那麼，a ，a ，…，a 、a 也是等差數列，其公差為－d；在等差數列中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 ) ⑻在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項． ⑼當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等於一個常數． ⑽設a 1，a 2，a 3為等差數列中的三項，且a1 與a2 ，a 2與a 3的項距差之比 = d（ d≠－1），則2a2 = a1+a3．
一、 等差數列 如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。 等差數列的通項公式為：an=a1n+(n-1)d (1) 前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬於正整數。 從(1)式可以看出，an是n的一次函式(d≠0)或常數函式(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由(2)式知，Sn是n的二次函式(d≠0)或一次函式(d=0，a1≠0)，且常數項為0。 在等差數列中，等差中項：一般設為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項，且為數列的平均數。 且任意兩項am，an的關係為：an=am+(n-m)d 它可以看作等差數列廣義的通項公式。 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數列，等等。 和＝（首項＋末項）×項數÷2 項數＝（末項-首項）÷公差＋1 首項=2和÷項數-末項 末項=2和÷項數-首項 末項=首項+（項數-1）×公差 等差數列的應用： 日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別 時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。 若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。 3．等差數列的基本性質 ⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d． ⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd． ⑶若、為等差數列，則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數)也是等差數列． ⑷對任何m、n ，在等差數列中有：a = a + (n－m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性． ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數個數相等），那麼當為等差數列時，有：a + a + a + … = a + a + a + … ． ⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差)． ⑺如果是等差數列，公差為d，那麼，a ，a ，…，a 、a 也是等差數列，其公差為－d；在等差數列中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 ) ⑻在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項． ⑼當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等於一個常數． ⑽設a 1，a 2，a 3為等差數列中的三項，且a1 與a2 ，a 2與a 3的項距差之比 = d（ d≠－1），則2a2 = a1+a3．