1、分式一般地，如果A、B表示兩個整式，並且B中含有字母，那麼式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．2、分式有意義、無意義，分式的值為零的條件分式有意義的條件是分式的分母不為0；分式無意義的條件是分式的分母為0；分式的值為0的條件是分子為0，且分母不為0．3、分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除)以一個不為零的整式，分式的值不變．用式子表示為：其中A、B、C為整式．4、通分與分數通分類似，利用分式的基本性質，使分式的分子分母同乘以適當的整式，不改變分式的值，化異分母分式為同分母分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．5、約分與分數的約分類似，利用分式的基本性質，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．6、分式的乘除法法則分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置後與被除式相乘．7、分式的乘方法則分式乘方，把分子、分母各自乘方．即8、同分母的分式的加減法同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．即．9、異分母分式加減法異分母分式相加減，先通分，變為同分母分式，然後再加減．即．10、零指數冪的意義任何不等於零的數的零次冪都等於1，即a0=1(a≠0)．零的零次冪沒有意義．11、負整數指數冪任何不等於零的數的－n(n為正整數)次冪等於這個數的n次冪的倒數．12、負整數指數冪用正整數指數冪表示在運用正整數指數冪表示負整數指數冪時，對代數式中的相關冪與積的乘方或冪的其他運算要先進行運算，並且正整數指數冪的運算對負整數指數冪的運算都適用．13、科學記數法(1)用科學記數法可以把絕對值較小的數表示成a×10－n(1≤|a|＜10，n為正整數)的形式．(2)確定n的具體數值：通常從小數點往後至第一個不為零的數字上所有零的個數，包括小數點前面的那個零．二、重難點知識歸納分式的運算既是重點又是難點．三、例題賞析例1、使得分式有意義的條件是（ ）A．x≠0 B．x≠－1且x≠－2C．x≠－1D．x≠－1且x≠0分析：分式有意義應是使分式中的每一個分母都不為零．可採用驗證的方法：當x=－1時，小分母1＋x=0．當x=－2時，大分母分式都無意義．故要使分式有意義，則必有x≠－1且x≠－2，也可以採用直接求解的方法．解：要使原分式有意義，必須解得x≠－1且x≠－2故，選B例2、下列分式中，當x取何值時，分式有意義？當x取什麼值時，分式的值為0？．分析：分式有意義的條件是分母不為0，由此可求出x的值；分式的值為0的條件是分子等於0，而分母不為0．但必須明確，只有在分式有意義的前提下，才能討論它的值是多少，本題就是要找到這樣的數，使分式的分子等於0，而分母不等於0．解：(1)對於一切實數，x2≥0，∴x2＋1＞0．∴當x為任意實數時，分式都有意義．由∴當x=0時，分式的值為0．(2)由分母3x－5≠0，得．由．．(3)由分母x＋3≠0，得x≠－3．．由得x=3．∴當x=3時，分式的值為0．(4)因為對於一切實數x，x2≥0，∴x2＋5＞0．所以當x為任何實數時，分式都有意義．由於分子3不等於0，所以分式的值不可能為0，即這樣的x值不存在．例3、已知．分析：首先應排除一種錯誤的想法，即若試圖從已知條件中求出x以及y的具體值，然後代入求值的分式，顯然是行不通的．那麼如何求值呢？待求的分式也不能化簡，所以應該著眼於尋求已知與未知之間的“橋樑”即共同點，這就需要利用分式的基本性質把已知條件變形或將待求式變形，用整體代入法求值．解法1：由可知x≠0，y≠0，故在等式兩邊同乘以xy得x＋y=5xy解法2：∵xy≠0，將待求式的分子、分母同時除以xy，得例4、計算：．分析：(1)式是分式與整式的乘除混合運算，應先把分式的乘除法運算統一成乘法運算，再利用乘法運演算法則進行計算．(2)式也是分式與整式的乘除混合運算；並且有括號，所以應先算括號內的，再算括號外的．(3)注意運算的順序．解： 例5、計算：．分析：(1)3a2bc=3ba2c=3cba2是同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，但應把各分子看成一個整體，用括號括起來，再相加減．(2)因為y2－x2=－(x2－y2)，所以只要用分式的符號法則，即可將第2個分式的分母和另兩個分式的分母化為相同的．解： 例6、計算分析：(1)先算乘除，再算加減．(2)先算括號內的．(3)先算乘法，再算減法． 例7、化簡求值：．分析：本題要求先化簡再求值，實際上就是先將分子、分母分別分解因式，然後約分，把分式化為最簡分式以後再代入求值．例8、計算下列各式，並把結果化為只含有正整數指數冪的形式．(1)(a－3)－2(b2c－2)3(2)(4x－2y3z－1)－3(8xy－2z5)2分析：正、負整數指數混合在一起運算，其運算順序、運演算法則類同整式、分式的運算，先做乘方、後做乘除，結果含負整數指數時，把它的指數改變符號後放在分母上或分子上．解：(1)(a－3)－2(b2c－2)3=a－3×(－2)b2×3c－2×3=a6b6c－6=(2)(4x－2y3z－1)－3(8xy－2z5)2=4－3x－2×(－3)y3×(－3)z－1×(－3)·82x2y－2×2z5×2=2－6＋6x6＋2y－9＋(－4)z3＋10=20x8y－13z13例9、計算下列各式，並把結果化為只含有正整數指數冪的形式．(1)(a－3bc2)－2； (2)(x－3y)2·(x2y－2)2；(3)[(－x)2(x－1)2]÷x5；(4)(2ab2)－2·(a－2)－1．利用冪的運算性質進行計算時，計算的結果利用負整數指數冪的意義轉化為正整數指數冪的形式．解：(1)(a－3bc2)－2=(a－3)－2·b－2·(c2)－2=a6b－2c－4=(2)(x－3y)2·(x2y－2)2=x－6·y2·x4·y－4=x－6＋4·y2＋(－4)=x－2y－2=(3)[(－x)2(x－1)2]÷x5=（x2x－2）÷x5=x2＋(－2)－5=x－5=(4)(2ab2)－2·(a－2)－1=2－2a－2b－4a2=2－2·a－2＋2b－4=
1、分式一般地，如果A、B表示兩個整式，並且B中含有字母，那麼式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．2、分式有意義、無意義，分式的值為零的條件分式有意義的條件是分式的分母不為0；分式無意義的條件是分式的分母為0；分式的值為0的條件是分子為0，且分母不為0．3、分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除)以一個不為零的整式，分式的值不變．用式子表示為：其中A、B、C為整式．4、通分與分數通分類似，利用分式的基本性質，使分式的分子分母同乘以適當的整式，不改變分式的值，化異分母分式為同分母分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．5、約分與分數的約分類似，利用分式的基本性質，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．6、分式的乘除法法則分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置後與被除式相乘．7、分式的乘方法則分式乘方，把分子、分母各自乘方．即8、同分母的分式的加減法同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．即．9、異分母分式加減法異分母分式相加減，先通分，變為同分母分式，然後再加減．即．10、零指數冪的意義任何不等於零的數的零次冪都等於1，即a0=1(a≠0)．零的零次冪沒有意義．11、負整數指數冪任何不等於零的數的－n(n為正整數)次冪等於這個數的n次冪的倒數．12、負整數指數冪用正整數指數冪表示在運用正整數指數冪表示負整數指數冪時，對代數式中的相關冪與積的乘方或冪的其他運算要先進行運算，並且正整數指數冪的運算對負整數指數冪的運算都適用．13、科學記數法(1)用科學記數法可以把絕對值較小的數表示成a×10－n(1≤|a|＜10，n為正整數)的形式．(2)確定n的具體數值：通常從小數點往後至第一個不為零的數字上所有零的個數，包括小數點前面的那個零．二、重難點知識歸納分式的運算既是重點又是難點．三、例題賞析例1、使得分式有意義的條件是（ ）A．x≠0 B．x≠－1且x≠－2C．x≠－1D．x≠－1且x≠0分析：分式有意義應是使分式中的每一個分母都不為零．可採用驗證的方法：當x=－1時，小分母1＋x=0．當x=－2時，大分母分式都無意義．故要使分式有意義，則必有x≠－1且x≠－2，也可以採用直接求解的方法．解：要使原分式有意義，必須解得x≠－1且x≠－2故，選B例2、下列分式中，當x取何值時，分式有意義？當x取什麼值時，分式的值為0？．分析：分式有意義的條件是分母不為0，由此可求出x的值；分式的值為0的條件是分子等於0，而分母不為0．但必須明確，只有在分式有意義的前提下，才能討論它的值是多少，本題就是要找到這樣的數，使分式的分子等於0，而分母不等於0．解：(1)對於一切實數，x2≥0，∴x2＋1＞0．∴當x為任意實數時，分式都有意義．由∴當x=0時，分式的值為0．(2)由分母3x－5≠0，得．由．．(3)由分母x＋3≠0，得x≠－3．．由得x=3．∴當x=3時，分式的值為0．(4)因為對於一切實數x，x2≥0，∴x2＋5＞0．所以當x為任何實數時，分式都有意義．由於分子3不等於0，所以分式的值不可能為0，即這樣的x值不存在．例3、已知．分析：首先應排除一種錯誤的想法，即若試圖從已知條件中求出x以及y的具體值，然後代入求值的分式，顯然是行不通的．那麼如何求值呢？待求的分式也不能化簡，所以應該著眼於尋求已知與未知之間的“橋樑”即共同點，這就需要利用分式的基本性質把已知條件變形或將待求式變形，用整體代入法求值．解法1：由可知x≠0，y≠0，故在等式兩邊同乘以xy得x＋y=5xy解法2：∵xy≠0，將待求式的分子、分母同時除以xy，得例4、計算：．分析：(1)式是分式與整式的乘除混合運算，應先把分式的乘除法運算統一成乘法運算，再利用乘法運演算法則進行計算．(2)式也是分式與整式的乘除混合運算；並且有括號，所以應先算括號內的，再算括號外的．(3)注意運算的順序．解： 例5、計算：．分析：(1)3a2bc=3ba2c=3cba2是同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，但應把各分子看成一個整體，用括號括起來，再相加減．(2)因為y2－x2=－(x2－y2)，所以只要用分式的符號法則，即可將第2個分式的分母和另兩個分式的分母化為相同的．解： 例6、計算分析：(1)先算乘除，再算加減．(2)先算括號內的．(3)先算乘法，再算減法． 例7、化簡求值：．分析：本題要求先化簡再求值，實際上就是先將分子、分母分別分解因式，然後約分，把分式化為最簡分式以後再代入求值．例8、計算下列各式，並把結果化為只含有正整數指數冪的形式．(1)(a－3)－2(b2c－2)3(2)(4x－2y3z－1)－3(8xy－2z5)2分析：正、負整數指數混合在一起運算，其運算順序、運演算法則類同整式、分式的運算，先做乘方、後做乘除，結果含負整數指數時，把它的指數改變符號後放在分母上或分子上．解：(1)(a－3)－2(b2c－2)3=a－3×(－2)b2×3c－2×3=a6b6c－6=(2)(4x－2y3z－1)－3(8xy－2z5)2=4－3x－2×(－3)y3×(－3)z－1×(－3)·82x2y－2×2z5×2=2－6＋6x6＋2y－9＋(－4)z3＋10=20x8y－13z13例9、計算下列各式，並把結果化為只含有正整數指數冪的形式．(1)(a－3bc2)－2； (2)(x－3y)2·(x2y－2)2；(3)[(－x)2(x－1)2]÷x5；(4)(2ab2)－2·(a－2)－1．利用冪的運算性質進行計算時，計算的結果利用負整數指數冪的意義轉化為正整數指數冪的形式．解：(1)(a－3bc2)－2=(a－3)－2·b－2·(c2)－2=a6b－2c－4=(2)(x－3y)2·(x2y－2)2=x－6·y2·x4·y－4=x－6＋4·y2＋(－4)=x－2y－2=(3)[(－x)2(x－1)2]÷x5=（x2x－2）÷x5=x2＋(－2)－5=x－5=(4)(2ab2)－2·(a－2)－1=2－2a－2b－4a2=2－2·a－2＋2b－4=