n的最小值

已知1+2+3+…+n的和的個位數字為3，十位數為0，百位數字不為0。求n的最小值。

問題分析解答

方法一：

依題意，設百位數字是一個大於0的整數a，有

1+2+3+…+n=n(n+1)/2=100a+3

得，n(n+1)=200a+6，即相鄰兩個自然數的積的個位數為6；易知滿足條件的n的個位數只能是2或7，可設n=10x+2或10x+7，有

(10x+2)(10x+3)=200a+6 …… ①

或 (10x+7)(10x+8)=200+6 …… ②

由①整理得：2x²+x=4a

只有當x為偶數，且最小為4時滿足題意，則有n=42，a=9。

由②整理得：2x²+3x+1=4a

只有當x為奇數，且最小為3時滿足題意，則有n=37，a=7。

綜合可知n的最小值為37。

方法二：與方法一類似，可得到n(n+1)=200a+6

兩邊乘以4得：4n(n+1)=800a+24

配方得：(2n+1)²=800a+25

這是一個末兩位數為25的平方數，顯然2n+1的個位數5，可設 2n+1=10x+5，於是 (10x+5)²=800a+25。

整理得：8a=x(x+1)

可知x=7，a=7 最小，從而n的最小值為37。

其他解法可參考“題友解答精選”中題友的解答。