分析，不要一步登天，逐步推演。

這樣想試試，如果2道題，如何呢？2道題都蒙對的機率，除了每道題的1/4，還要2道都對的1/2，是吧？顯然，2道都對的機率不會仍然是1/4，最終結果必定是1/2和1/4互相牽連的某種關係，這種關係是乘法嗎？自己研究一下。然後，3道題呢？如此遞推，就知道n道的公式。

機率是一個數學概念，機率是計算一個事件出現可能性的百分比是多少。所以題目改成“一道選擇題猜對的機率為1/4，那麼連續做10萬道題全對的機率是多少？”，這樣是可以回答的。

答案是1/4的100000次方。百度上的計算器只能計算到1/4的500次方.，就是附圖的結果，

就是0小數點的後面再加302個0才能再寫9332的。

蒙對機率為0，就意味著十萬道題全錯，一道題錯機率是四分之三，就是0.75，那麼十萬道全錯的機率就是0.75的十萬次方，無限接近零，小到計算器都超出範圍了，小到跟全對的機率一樣，都是無限接近0了。

一道選擇題有4個選項，因此蒙對的機率為：

p = 1/4

n道選擇題，全部蒙對符合乘法原理，因此機率為

P = p⋅p⋅p ⋅⋅⋅ p = pⁿ = (1/4)ⁿ。

題主的問題是 n = 1000000 （十萬） 的情況，這時，全部蒙對的機率

P = (1/4)¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰

這個數字很小，小到 計算器 無法支援，以及 普通的計算機上程式設計計算會耗時巨長（小石頭這小小的筆記本是執行不出來了），但是 它 僅僅是接近於 0，依然不是 0。

更一般性，由於 p 小於 1，所以隨著 n 的 增大 P 會越來越小，於是 當 n → ∞ 時, P → 0，即：

十萬選擇題太多，一般的考試選擇題也就是 10 道題，這時全部蒙對的機率是：

P = (1/4)¹⁰ = 1/179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624224137216 ≈ 9.54×10⁻⁷

機率依然很低。

我們再放低要求，看看 在 n 道選擇題中 蒙對 m (≤ n) 道的 機率如何！ 設 q 為蒙錯的機率，一道要麼是蒙對要麼是蒙錯，所有蒙對 加 蒙錯的機率是 1，即 p + q = 1，因此蒙錯的機率是：

q = 1 - p = 3/4

所謂蒙對 m 道題目，就是 從 n 道題 中選取 m 道題是對的，剩下的 (n - m) 道是錯。根據排列組合的知識 C(n, m) = n!/(m!(n-m)!) 種選擇方法，而每種選擇方法的機率符合乘法原理：

p⋅p⋅⋅⋅p⋅q⋅q⋅⋅⋅q = pᵐq⁽ⁿ⁻ᵐ⁾

因此，n 道中 蒙對 m 道的 機率為：

P(X=m) = C(n, m) pᵐq⁽ⁿ⁻ᵐ⁾

學過《機率論》的朋友都知道，這就是 二項式分佈。

具體來說，讓我們計算 10 道選擇題蒙對 一半的機率：

P(X = 5) = C(10, 5) (1/4)⁵(3/4)⁵ = (10!/(5!5!))(1/4)⁵(3/4)⁵ ≈ 0.058

這回的機率大大增強了。

那麼想知道 10 道題蒙對幾道的機率最大呢？

我們可以隨便用 JavaScript 寫個程式：

function C(n, m) {

var c = 1;

k = n; while(k > (n-m)) c *= k--;

k = m; while(k > 1) c /= k--;

return c; }

const P = (x, n, p) => C(n, x)* Math.pow(p, x) * Math.pow(1-p, n-x);

然後，將各種蒙對情況的機率計算出來，並繪製成圖如下：

一目瞭然，蒙對 2 道題的機率最高。

由此可見，在不允許交白卷的情況下，考試得到零分，並不容易！

隨著我們不斷的努力學習努力刷題，我們做對一道題的機率不斷上升，但學習的道路是曲折的，因為，當 p 提升到 9/10 時，10 道題全部做對的機率僅僅是：

P ≈ 0.349

只有當我們保證每道題的 做對機率 p = 99/100， 10 道題全部做對的機率才達到：

P ≈ 0.904

而高考時 12 道選擇題，這時的做對機率降到：

P ≈ 0.886

所以，各位同學，加油努力提高我們的單題蒙對機率吧！

最後，回到題主原要求！不難理解，在十萬道題下，蒙對 任何 m(小於等於十萬）道題的機率都接近 於 0（但不等於 0），當 題目個數 n 趨近於 ∞ 時，都難逃 (1) 的情況。

從另外一個方面考慮，不管 n 有多大，n 總是有限的，因而 蒙對 任何 m (≤ n) 道題 總是有可能的，於是 它們的 機率 不會為 0。

（注意：零機率事件不會發生是對於 可數樣本空間 而言的， 在不可數樣本空間中，即便是 機率為零也可能發生，比如：幾何概型。）

當你理解了什麼叫:

做十萬道題蒙對個數為X

和做十萬道題蒙對機率為Y

時你就明白這道題了