經過很久嘗試終於得到結果了。結論是：6階非Abel群的2階子群共有(3 )個，3階子群共有( 1)個，4階子群共有(0 )個.首先，由拉格朗日定理知道6階非Abel群的4階子群個數為零，因為6不能整除4.然後可以找到3階置換群S3={(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，它是6階非Abel群，其中二階子群為{(1)，(1 2)}，{(1)，(1 3)}{(1)，(2 3)}，三階子群為{(1)，(1 3 2)，(1 2 3)}你可以驗證一下滿足題意和結論。那麼關鍵是討論出了S3以外是否還有其他群滿足。我們以三階子群作為分類。1、三階子群個數為0；2、三階子群個數為1（這個是上面的情況）；3、三階子群個數為2.三階子群個數為3或3以上的，很明顯構造不出來，因為除去單位元1之外，至少還要6個元素，此時階數為7，不是階非Abel群。所以關於6階非Abel群的子群問題只有上述三種情況分類。最後，證明分類1,3不滿足題意。對於分類1：可設其為A={1,a,b,c,d,e}.因為沒有三階群，故出去1之外，其他元素的階均為2，所以A的子群為{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}。因為元素的階為2，所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即為自己。同樣的可以討論其他元素。為了保證群中乘法的封閉性，我們假設ab=c(推理可知ab不能等於1，ab不能等於a,ab不能等於b,所以ab的值只能為c,d,e,f中的一個,取c），那麼c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1，所以(ab)^(-1)=ba.這樣我們就有ab=ba。對於其他元素我們也可以這樣討論，那麼可發現這個群地所有元素可交換，此時該群為Abel群，與題目假設矛盾。對於分類2：可設其為A={1,a,b,c,d,e}.因為三階子群個數為2，可得到出去{1}的子群為{1,a,b}{1,c,d}{1,e}，此時a,b,c,d的階為3，e的階為2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,於是ab=ba=cd=dc=1（這一步你自己要好好想想，原因寫起來太麻煩）。那麼ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同樣有cd=dc.現在考慮ac=?若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c，矛盾，故ac!=b;若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾，故ac!=d所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.現在考慮ae=?ae=a,ae=e顯然是不可能的。若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e，矛盾若ae=c，因為(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,兩邊乘以c的逆，ea=c^(-1)*b=db而由上面ac=b的討論知道db=e，即ea=e，矛盾所以此分類下沒有6階非Abel群。綜上所述，6階非Abel群的2階子群共有(3 )個，3階子群共有( 1)個，4階子群共有(0 )個
經過很久嘗試終於得到結果了。結論是：6階非Abel群的2階子群共有(3 )個，3階子群共有( 1)個，4階子群共有(0 )個.首先，由拉格朗日定理知道6階非Abel群的4階子群個數為零，因為6不能整除4.然後可以找到3階置換群S3={(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，它是6階非Abel群，其中二階子群為{(1)，(1 2)}，{(1)，(1 3)}{(1)，(2 3)}，三階子群為{(1)，(1 3 2)，(1 2 3)}你可以驗證一下滿足題意和結論。那麼關鍵是討論出了S3以外是否還有其他群滿足。我們以三階子群作為分類。1、三階子群個數為0；2、三階子群個數為1（這個是上面的情況）；3、三階子群個數為2.三階子群個數為3或3以上的，很明顯構造不出來，因為除去單位元1之外，至少還要6個元素，此時階數為7，不是階非Abel群。所以關於6階非Abel群的子群問題只有上述三種情況分類。最後，證明分類1,3不滿足題意。對於分類1：可設其為A={1,a,b,c,d,e}.因為沒有三階群，故出去1之外，其他元素的階均為2，所以A的子群為{1,a}{1,b}{1,c}{1,e}{1,f}。因為元素的階為2，所以a^2=1,即a=a^(-1),所以元素的逆即為自己。同樣的可以討論其他元素。為了保證群中乘法的封閉性，我們假設ab=c(推理可知ab不能等於1，ab不能等於a,ab不能等於b,所以ab的值只能為c,d,e,f中的一個,取c），那麼c^2=1=(ab)^2,所以有ab=(ab)^(-1),而b^2=a^2=1,可知(ab)(ba)=a(bb)a=aa=1，所以(ab)^(-1)=ba.這樣我們就有ab=ba。對於其他元素我們也可以這樣討論，那麼可發現這個群地所有元素可交換，此時該群為Abel群，與題目假設矛盾。對於分類2：可設其為A={1,a,b,c,d,e}.因為三階子群個數為2，可得到出去{1}的子群為{1,a,b}{1,c,d}{1,e}，此時a,b,c,d的階為3，e的階為2,且a^2=b,b^2=a,c^2=d,d^2=c,e^2=1,於是ab=ba=cd=dc=1（這一步你自己要好好想想，原因寫起來太麻煩）。那麼ab=a*a^2=1=ba=a^2*a,即ab=ba.同樣有cd=dc.現在考慮ac=?若ac=b,b(ac)=b*b=a,(ba)c=1*c=c,但是b(ac)=(ba)c,a!=c，矛盾，故ac!=b;若ac=d,(ac)d=d^2=c,a(cd)=a*1=a,矛盾，故ac!=d所以ac=e,同理有ca=cb=bc=da=ad=db=bd=e.現在考慮ae=?ae=a,ae=e顯然是不可能的。若ae=b,(ae)e=be,a(ee)=a,由(ae)e=a(ee),推出be=a,而b^2=a,故b=e，矛盾若ae=c，因為(ae)(ea)=a(ee)a=aa=b,又ae=c,所以c(ea)=b,兩邊乘以c的逆，ea=c^(-1)*b=db而由上面ac=b的討論知道db=e，即ea=e，矛盾所以此分類下沒有6階非Abel群。綜上所述，6階非Abel群的2階子群共有(3 )個，3階子群共有( 1)個，4階子群共有(0 )個