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  • 1 # jiejiaonaduanai

    三次方程必有一個實數解(因為實係數方程的複數解必然成對,每對互為共軛複數。)

    複數解的幾何意義只能在複平面內表達,無法在方程對應函式影象所在平面直角座標系表達,這個座標系中不可能出現曲線與x軸的虛交點(不存在的交點),

    三次方程總可以化為

    f(x)=x³+bx²+cx+d

    =(x-s)(x-(p+qi))(x-(p-qi))

    其中s是實數根,p,q是實數,q>0

    =x³-x²[(p-qi)+(p+qi)+s]+x[(p+qi)(p-qi)+s(p+qi)+s(p-qi)]-s(p+qi)(p-qi)

    =x³-x²[2p+s]+x[p²+q²+2sp]-s(p²+q²)

    -2p-s=b

    p²+q²+2sp=c

    -s(p²+q²)=d

    如果s=0,則d=0,方程可以簡化為一元二次方程,x²+bx+c=0,b²-4c<0;

    如果s≠0,研究s與p、q的關係:

    p²+q²=-d/s

    回代上一式:

    -d/s+2sp=c

    由第一式:2p=-s-b,p=-(s-b)/2

    p²+q²=-d/s

    p²+q²=c-2sp=c+s(s+b)=s²+bs+c

    在複數平面上,向量s,p+qi,p-qi,相互夾角為120°。

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