三次方程必有一個實數解(因為實係數方程的複數解必然成對,每對互為共軛複數。)
複數解的幾何意義只能在複平面內表達,無法在方程對應函式影象所在平面直角座標系表達,這個座標系中不可能出現曲線與x軸的虛交點(不存在的交點),
三次方程總可以化為
f(x)=x³+bx²+cx+d
=(x-s)(x-(p+qi))(x-(p-qi))
其中s是實數根,p,q是實數,q>0
=x³-x²[(p-qi)+(p+qi)+s]+x[(p+qi)(p-qi)+s(p+qi)+s(p-qi)]-s(p+qi)(p-qi)
=x³-x²[2p+s]+x[p²+q²+2sp]-s(p²+q²)
-2p-s=b
p²+q²+2sp=c
-s(p²+q²)=d
如果s=0,則d=0,方程可以簡化為一元二次方程,x²+bx+c=0,b²-4c<0;
如果s≠0,研究s與p、q的關係:
p²+q²=-d/s
回代上一式:
-d/s+2sp=c
由第一式:2p=-s-b,p=-(s-b)/2
p²+q²=c-2sp=c+s(s+b)=s²+bs+c
在複數平面上,向量s,p+qi,p-qi,相互夾角為120°。
三次方程必有一個實數解(因為實係數方程的複數解必然成對,每對互為共軛複數。)
複數解的幾何意義只能在複平面內表達,無法在方程對應函式影象所在平面直角座標系表達,這個座標系中不可能出現曲線與x軸的虛交點(不存在的交點),
三次方程總可以化為
f(x)=x³+bx²+cx+d
=(x-s)(x-(p+qi))(x-(p-qi))
其中s是實數根,p,q是實數,q>0
=x³-x²[(p-qi)+(p+qi)+s]+x[(p+qi)(p-qi)+s(p+qi)+s(p-qi)]-s(p+qi)(p-qi)
=x³-x²[2p+s]+x[p²+q²+2sp]-s(p²+q²)
-2p-s=b
p²+q²+2sp=c
-s(p²+q²)=d
如果s=0,則d=0,方程可以簡化為一元二次方程,x²+bx+c=0,b²-4c<0;
如果s≠0,研究s與p、q的關係:
p²+q²=-d/s
回代上一式:
-d/s+2sp=c
由第一式:2p=-s-b,p=-(s-b)/2
p²+q²=-d/s
p²+q²=c-2sp=c+s(s+b)=s²+bs+c
在複數平面上,向量s,p+qi,p-qi,相互夾角為120°。