設 ：是任何維的一般旋轉矩陣。
兩個向量的點積在它們都被一個旋轉矩陣操作之後保持不變。從而得出旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣。這裡的是單位矩陣。
一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣並且它的行列式是單位一。
正交矩陣的行列式是 ±1；
如果行列式是 −1，則它包含了一個反射而不是真旋轉矩陣。 旋轉矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成 的一個正交基，就是說在任何兩個列向量之間的標量積是零(正交性)而每個列向量的大小是單位一(單位向量)。
任何旋轉向量可以表示為斜對稱矩陣 A的指數: 這裡的指數是以泰勒級數定義的而 是以矩陣乘法定義的。
A 矩陣叫做旋轉的“生成元”。旋轉矩陣的李代數是它的生成元的代數，它就是斜對稱矩陣的代數。生成元可以透過 M 的矩陣對數來找到。
編輯本段的二維空間，在二維空間中，旋轉可以用一個單一的角 θ 定義。
作為約定，正角表示逆時針旋轉。
把笛卡爾座標的列向量關於原點逆時針旋轉 θ 的矩陣是: cosθ -sinθ。sinθ cosθ 。
編輯本段三維空間，在三維空間中，旋轉矩陣有一個等於單位一的實特徵值。
旋轉矩陣指定關於對應的特徵向量的旋轉(尤拉旋轉定理)。
如果旋轉角是 θ，則旋轉矩陣的另外兩個(複數)特徵值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。
從而得出 3 維旋轉的跡數等於 1 + 2 cos(θ)，這可用來快速的計算任何 3 維旋轉的旋轉角。
3 維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個是實數就可以指定一個3 維旋轉矩陣。
生成旋轉矩陣的一種簡單方式是把它作為三個基本旋轉的序列複合。
關於右手笛卡爾座標系的 x-, y- 和 z-軸的旋轉分別叫做 roll, pitch 和 yaw 旋轉。因為這些旋轉被表達為關於一個軸的旋轉，它們的生成元很容易表達。
繞 x-軸的旋轉定義為: 這裡的 θx 是 roll 角。
繞 y-軸的旋轉定義為: 這裡的 θy 是 pitch 角。
繞 z-軸的旋轉定義為: 這裡的 θz 是 yaw 角。
在飛行動力學中，roll, pitch 和 yaw 角通常分別採用符號 γ, α, 和 β；但是為了避免混淆於尤拉角這裡使用符號 θx, θy 和 θz。
任何 3 維旋轉矩陣 都可以用這三個角 θx, θy, 和
設 ：是任何維的一般旋轉矩陣。
兩個向量的點積在它們都被一個旋轉矩陣操作之後保持不變。從而得出旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣。這裡的是單位矩陣。
一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣並且它的行列式是單位一。
正交矩陣的行列式是 ±1；
如果行列式是 −1，則它包含了一個反射而不是真旋轉矩陣。 旋轉矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成 的一個正交基，就是說在任何兩個列向量之間的標量積是零(正交性)而每個列向量的大小是單位一(單位向量)。
任何旋轉向量可以表示為斜對稱矩陣 A的指數: 這裡的指數是以泰勒級數定義的而 是以矩陣乘法定義的。
A 矩陣叫做旋轉的“生成元”。旋轉矩陣的李代數是它的生成元的代數，它就是斜對稱矩陣的代數。生成元可以透過 M 的矩陣對數來找到。
編輯本段的二維空間，在二維空間中，旋轉可以用一個單一的角 θ 定義。
作為約定，正角表示逆時針旋轉。
把笛卡爾座標的列向量關於原點逆時針旋轉 θ 的矩陣是: cosθ -sinθ。sinθ cosθ 。
編輯本段三維空間，在三維空間中，旋轉矩陣有一個等於單位一的實特徵值。
旋轉矩陣指定關於對應的特徵向量的旋轉(尤拉旋轉定理)。
如果旋轉角是 θ，則旋轉矩陣的另外兩個(複數)特徵值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。
從而得出 3 維旋轉的跡數等於 1 + 2 cos(θ)，這可用來快速的計算任何 3 維旋轉的旋轉角。
3 維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個是實數就可以指定一個3 維旋轉矩陣。
生成旋轉矩陣的一種簡單方式是把它作為三個基本旋轉的序列複合。
關於右手笛卡爾座標系的 x-, y- 和 z-軸的旋轉分別叫做 roll, pitch 和 yaw 旋轉。因為這些旋轉被表達為關於一個軸的旋轉，它們的生成元很容易表達。
繞 x-軸的旋轉定義為: 這裡的 θx 是 roll 角。
繞 y-軸的旋轉定義為: 這裡的 θy 是 pitch 角。
繞 z-軸的旋轉定義為: 這裡的 θz 是 yaw 角。
在飛行動力學中，roll, pitch 和 yaw 角通常分別採用符號 γ, α, 和 β；但是為了避免混淆於尤拉角這裡使用符號 θx, θy 和 θz。
任何 3 維旋轉矩陣 都可以用這三個角 θx, θy, 和