1+2^2+3^2+...+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)。

解題過程如下：

解：因為（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1

則（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1

n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1

............

3^3-2^3=3*2^3+3*2+1

2^3-1^3=3*1^3+3*1+1

把等式兩邊同時求和得，

（n+1）^3-1^3

=（3n^2+3（n-1）^2+......+3*2^2+3*1^2）+（3n+3（n-1）+......+3*2+3*1）+n

=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3（n+（n-1）+......+2+1）+n

=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n

即，n^3+3n^2+3n=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n

整理得，n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6

即，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6