傅立葉級數

白色的光透過三稜鏡可以分解成紅橙藍綠......我們的音樂訊號，在無線譜上就是一個簡單的符號。這些現象在我們理解傅立葉級數時具有很大的幫助。傅立葉告訴我們，任何週期函式，都可以看作出不同振幅，不同相位正弦波的疊加。

很明顯，傅立葉級數對於週期的訊號（功率訊號）是沒問題的。但是我們經常遇到的非週期訊號呢？週期訊號都有一個週期T，如果週期T變得無窮大，那麼我們可以看作是非週期訊號。

下面就考慮一下，如果週期T變為無窮大，那麼傅立葉級數的公式會有怎樣的變化。

我們都知道傅立葉級數的頻譜在頻率軸上離散的，每個“柱子”的間隔是一個w，其中w=2*pi/T,可見當T逐漸變為無窮大的時候，w逐步變為零（說成dw是不是更準確），那麼頻譜自然就變成連續的啦！

說到這裡，如果你多想一步，就會發現問題。傅立葉頻譜F(nw)有一個因子1/T啊，當T逐漸趨向無窮大，F(nw)直接變為0了？

怎麼可能，能量不可能因為我們在這裡變換幾下，就消失的。

所以，我們想辦法把這個因子T給幹掉，我們用F(nw)除以w，即我們定義一個新的頻譜F(nw)/w，準確的是頻譜密度，畢竟是除以頻率w，所以叫做頻譜密度。

你看，由於w=2*pi/T，所以這個時候T被我們幹掉了吧。

這樣我們就得到了非週期訊號的頻譜，我們把它叫做傅立葉變換。

傅立葉級數

一個大清早喝粥，誇獎粥熬得稠，在數學上可以表述為：“任取粥中一個水分，都可以找到粥中的一組澱粉分子，讓後者無限的逼近前者”，這種性質稱為稠密性。稠密性最典型的例子就是，有理數集在實數集中稠密，正是因為這才使得，任取一個無理數，都可以在有理數集中找到一組有理數無限的逼近它，比如：3, 3.1, 3.14, 3.141, ... → π，這就是所謂無限不迴圈小數的本質。

威爾斯塔拉斯（Weierstrass）最早發現，對於實數區間 [a, b] 上的任何連續實函式 f(x)，都可以找到一組多項式 P៷(x) 使得：

這就是 威爾斯塔拉斯定理。將 區間 [a, b] 上，所有多項式組成的集合，記為 P[a, b]，所有連續函式組成的集合，記為C[a, b]， 則說明，P[a, b] 在 C[a, b] 中稠密。

令，P៷(x) 為正弦多項式：

對於任何週期為 T （角頻率為 ω = 2π/T）的實函式 f(x)，在其任何一個週期 [x_0 , x_0 + T]內，有：

這樣就將 f(x) 展開為了正弦級數。

然後，利用正弦函式的二角和差公式：

可將上面的正弦級數展開式變形為：

於是，令：

最終得到 的三角級數展開形式：

這就是大名鼎鼎的 傅立葉級數。

特別地，當 x_0 = -π, T= 2π 時，f(x) 在週期 [-π, π] 上展開為：

傅立葉級數中各項對應的三角函式組成序列：

被稱為，三角函式系。任取三角函式系中兩項（可重複）相乘後，在週期 [x_0, x_0 + T] 上求定積分，有以下可能（設 n, m ∈ N, n ≠ m）：

當選取的兩項不同時，

利用差化積公式，

有，

結合上面的結果，再利用積化和差公式，

有，

當選取的兩項相同時：

利用半形公式，

有，

綜上，發現只有當選取的兩項相同時定積分的結果才不是零，這叫做 三角函式系 的正交性。利用這個結論，可以很方便的求得傅立葉級數的各項係數：

傅立葉展開式的兩邊同乘 1 然後在週期 [x_0, x_0 + T] 上積分，有，

於是得到：

傅立葉展開式兩邊同乘 cos(mωx) 然後在週期 [x_0, x_0 + T] 上積分，有，

於是得到：

傅立葉展開式兩邊同乘 sin(mωx) 然後在週期 [x_0, x_0 + T] 上積分，有，

於是得到：

由尤拉公式：

得到：

上面兩式分別 相加 或 相減，得到：

將這個結果，應用於傅立葉展開式，有，

最終得到傅立葉級數的複數形式：

計算其中的係數 c_n：

於是，神奇的發現係數 c_n 在三種情況下的形式一致，最終為：

考慮，函式 f(x) 在週期 [-T/2, T/2] 上的傅立葉複數形式展開，並將係數 c_n 帶入，得到：

令，

則，顯然 ω_n 組成序列

是實數集 R 的子集，而且任何相鄰兩點之間的間距為 ω。為了符合書寫習慣，令 Δω_n = ω 。因為 Δω_n = ω = 2π/T 所以 T = 2π/Δω_n，代入前式，有，

考慮非週期函式可以看作是週期 T → ∞ 的週期函式。在這種情況下 Δω_n → 0。上式改寫為，

如果將 ∑ 和 Δω_n 之間的部分看作是以 ω_n 為引數的函式 g( ω_n)，則上式極限部分顯然符合黎曼積分的定義：

於是有，

可以證明當 Δω_n → 0 時，序列 Ω 在實數集 R 中稠密，於是對於任意 ω∈R 都存在Ω中的點列 {ω_k} → ω，這說明對於任意 ω∈R 上式都成立，於是最終得到：

這就是著名的傅立葉公式。

令，

則有，

前者稱為傅立葉變換，後者稱為傅立葉反變換， 分別記為：