大衍求一術
中國古代求解一類大衍問題的方法。大衍問題源於《孫子算經》中的“物不知數”問題：“今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”這是屬於現代數論中求解一次同餘式方程組問題。宋代數學家秦九韶在《數書九章》（1247年成書）中對此類問題的解法作了系統的論述，並稱之為大衍求一術。德國數學家C.F.高斯是在1801年才建立起同餘理論的，大衍求一術反映了中國古代數學的高度成就。 秦九韶在《數書九章》中明確地系統地敘述了求解一次同餘組的一般計算步驟。秦的方法，正是前述的剩餘定理。我們知道，剩餘定理把一般的一
的一組數Ki的選定。秦九韶給這些數起名叫“乘率”，並且在《數書九章》卷一“大衍總術”中詳載了計算乘率的方法——“大衍求一術”。
為了介紹“大衍求一術”，我們以任一乘率ki的計算作例。如果Gi＝
Gi≡gi（modai），
於是kiGi≡Kigi（modai），
但是因為kiGi≡1（modai），
所以問題歸結為求ki使適合kigi≡1（modai）。秦九韶把ai叫“定數”，gi叫“奇數”，他的“大衍求一術”，用現代語言解釋，實際就是把奇數gi和定數ai輾轉相除，相繼得商數q1、q2、……qn和餘數r1、r2、……rn，在輾轉相除的時候，隨即算出下面右列的c值：
秦九韶指出，當rn＝1而n是偶數的時候，最後得到的cn就是所求乘率ki。如果r1＝1而n是奇數，那麼把rn-1和rn相除，形式上令qn＋1＝rn-1－1，那麼餘數rn＋1仍舊是1，再作cn+1=qn+1Cn+Cn-1，這時n＋1是偶數，cn＋1就是所求的ki。不論哪種情形，最後一步都出現餘數1，整個計算到此終止，秦九韶因此把他的方法叫做“求一術”（至於“大衍”的意思，秦九韶本人在《數書九章》序中把它和《周易》“大衍之數”相附會）。可以證明，秦九韶這一演算法是完全正確，十分嚴密的式。
在秦九韶那個時代，計算仍然使用算籌。秦九韶在一個小方盤上，右上佈置奇數g，右下佈置定數a，左上置1（他叫它做“天元1”），然後在右行上下互動以少除多，所得商數和左上（或下）相乘併入左下（或上），直到右上方出現1為止。下頁就是秦九韶的一般籌算圖式，右邊是一個數字例子（g＝20，a＝27，K＝ c4＝23）。
秦九韶在《數書九章》中採集了大量例題，如“古歷會積”、“積尺尋源”、“推計土功”、“程行計地”等等，廣泛應用大衍求一術來解決曆法、工程、賦役和軍旅等實際問題。在這些實際問題中，模數ai並不總是兩兩互素的整數。秦九韶區分了“元數”（ai是整數）、“收數”（ai是小數）、“通數”（ai是分數）等不同情形，並且對每種情形給出了處理方法。“大衍總術”把“收數”和“通數”化成“元數”的情形來計算，而對於元數不兩兩互素的情形，給出了可靠的程式，適當選取那些元數的因子作定數而把問題歸結為兩兩互素的情形①。所有這些系統的理論，周密的考慮，即使以今天的眼光看來也很不簡單，充分顯示了秦九韶高超的數學水平和計算技巧。
秦九韶小時曾跟隨他父親到南宋京城杭州，向太史局（主管天
天元
奇gi
1，20
定ai
27
1，
gi
c1=q1，
r2
1，7
(q1)
(q2)
c2=c1q2+1，
3，6
c1，
r1
cn-2，
rn-2
cn-1=cn-2qn-1+cn-3，
rn-1
4，1
(qn-1)
(qn)
cn=cn-1qn+cn-2，
1
23，1
cn-1，
文曆法的機構）的官員學習天文曆法，“大衍求一術”很可能就是他總結天文曆法計算上元積年方法的結果。但是“大衍求一術”似乎沒有為他同時代的人所充分理解。明中葉以後幾乎失傳。一直到清代，“大衍求一術”又重新被髮掘出來，引起了許多學者（張敦仁、、駱騰鳳、等）的興趣。他們對“大衍求一術”進行了解釋、改進和簡化，其中對模數非兩兩互素的情形給出了更加簡明的方法，但是時代已是晚清。
從“物不知數”題到秦九韶的“大衍求一術”，中國古代數學家對一次同餘式的研究，不僅在中國數學史上而且在世界數學史上佔有光榮的地位。在歐洲，最早接觸一次同餘式的，是和秦九韶同時代的義大利數學家裴波那契（1170—1250），他在中給出了兩個一次同餘問題，但是沒有一般的演算法。這兩個問題從形式到資料都和孫子物不知數題相仿，整個水平沒有超過。直到十八、十九世紀，大數學家尤拉（1707—1783）於公元1743年、高斯（1777—1855）於公元1801年對一般一次同餘式進行了詳細研究，才重新獲得和秦九韶“大衍求一術”相同的定理，並且對模數兩兩互素的情形給出了嚴格證明。尤拉和高斯事先並不知道華人的工作。公元1852年英國傳教士偉烈亞力（1815—1887）發表《中國科學摘記》，介紹了《孫子算經》物不知數題和秦九韶的解法，引起了歐洲學者的重視。1876年，德國馬蒂生（1830—1906）首先指出孫子問題的解法和高斯方法一致，當時德國著名數學史家康託（1829—1920）看到馬蒂生的文章以後，高度評價了“大衍術”，並且稱讚發現這一方法的中國數學家是“最幸運的天才”。直到今天，“大衍求一術”仍然引起西方數學史家濃厚的研究興趣。如1973年，美國出版的一部數學史專著《十三世紀的中國數學》中，系統介紹了中國學者在一次同餘論方面的成就，作者力勃雷希（比利時人）在評論秦九韶的貢獻的時候說道：“秦九韶在不定分析方面的著作時代頗早，考慮到這一點，我們就會看到，薩頓②稱秦九韶為‘他那個民族、他那個時代、並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一’，是毫不誇張的。”
大衍求一術
中國古代求解一類大衍問題的方法。大衍問題源於《孫子算經》中的“物不知數”問題：“今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”這是屬於現代數論中求解一次同餘式方程組問題。宋代數學家秦九韶在《數書九章》（1247年成書）中對此類問題的解法作了系統的論述，並稱之為大衍求一術。德國數學家C.F.高斯是在1801年才建立起同餘理論的，大衍求一術反映了中國古代數學的高度成就。 秦九韶在《數書九章》中明確地系統地敘述了求解一次同餘組的一般計算步驟。秦的方法，正是前述的剩餘定理。我們知道，剩餘定理把一般的一
的一組數Ki的選定。秦九韶給這些數起名叫“乘率”，並且在《數書九章》卷一“大衍總術”中詳載了計算乘率的方法——“大衍求一術”。
為了介紹“大衍求一術”，我們以任一乘率ki的計算作例。如果Gi＝
Gi≡gi（modai），
於是kiGi≡Kigi（modai），
但是因為kiGi≡1（modai），
所以問題歸結為求ki使適合kigi≡1（modai）。秦九韶把ai叫“定數”，gi叫“奇數”，他的“大衍求一術”，用現代語言解釋，實際就是把奇數gi和定數ai輾轉相除，相繼得商數q1、q2、……qn和餘數r1、r2、……rn，在輾轉相除的時候，隨即算出下面右列的c值：
秦九韶指出，當rn＝1而n是偶數的時候，最後得到的cn就是所求乘率ki。如果r1＝1而n是奇數，那麼把rn-1和rn相除，形式上令qn＋1＝rn-1－1，那麼餘數rn＋1仍舊是1，再作cn+1=qn+1Cn+Cn-1，這時n＋1是偶數，cn＋1就是所求的ki。不論哪種情形，最後一步都出現餘數1，整個計算到此終止，秦九韶因此把他的方法叫做“求一術”（至於“大衍”的意思，秦九韶本人在《數書九章》序中把它和《周易》“大衍之數”相附會）。可以證明，秦九韶這一演算法是完全正確，十分嚴密的式。
在秦九韶那個時代，計算仍然使用算籌。秦九韶在一個小方盤上，右上佈置奇數g，右下佈置定數a，左上置1（他叫它做“天元1”），然後在右行上下互動以少除多，所得商數和左上（或下）相乘併入左下（或上），直到右上方出現1為止。下頁就是秦九韶的一般籌算圖式，右邊是一個數字例子（g＝20，a＝27，K＝ c4＝23）。
秦九韶在《數書九章》中採集了大量例題，如“古歷會積”、“積尺尋源”、“推計土功”、“程行計地”等等，廣泛應用大衍求一術來解決曆法、工程、賦役和軍旅等實際問題。在這些實際問題中，模數ai並不總是兩兩互素的整數。秦九韶區分了“元數”（ai是整數）、“收數”（ai是小數）、“通數”（ai是分數）等不同情形，並且對每種情形給出了處理方法。“大衍總術”把“收數”和“通數”化成“元數”的情形來計算，而對於元數不兩兩互素的情形，給出了可靠的程式，適當選取那些元數的因子作定數而把問題歸結為兩兩互素的情形①。所有這些系統的理論，周密的考慮，即使以今天的眼光看來也很不簡單，充分顯示了秦九韶高超的數學水平和計算技巧。
秦九韶小時曾跟隨他父親到南宋京城杭州，向太史局（主管天
天元
奇gi
1，20
定ai
27
1，
gi
1，20
c1=q1，
r2
1，7
(q1)
(q2)
c2=c1q2+1，
r2
3，6
c1，
r1
1，7
cn-2，
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cn-1=cn-2qn-1+cn-3，
rn-1
4，1
(qn-1)
(qn)
cn=cn-1qn+cn-2，
1
23，1
cn-1，
rn-1
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文曆法的機構）的官員學習天文曆法，“大衍求一術”很可能就是他總結天文曆法計算上元積年方法的結果。但是“大衍求一術”似乎沒有為他同時代的人所充分理解。明中葉以後幾乎失傳。一直到清代，“大衍求一術”又重新被髮掘出來，引起了許多學者（張敦仁、、駱騰鳳、等）的興趣。他們對“大衍求一術”進行了解釋、改進和簡化，其中對模數非兩兩互素的情形給出了更加簡明的方法，但是時代已是晚清。
從“物不知數”題到秦九韶的“大衍求一術”，中國古代數學家對一次同餘式的研究，不僅在中國數學史上而且在世界數學史上佔有光榮的地位。在歐洲，最早接觸一次同餘式的，是和秦九韶同時代的義大利數學家裴波那契（1170—1250），他在中給出了兩個一次同餘問題，但是沒有一般的演算法。這兩個問題從形式到資料都和孫子物不知數題相仿，整個水平沒有超過。直到十八、十九世紀，大數學家尤拉（1707—1783）於公元1743年、高斯（1777—1855）於公元1801年對一般一次同餘式進行了詳細研究，才重新獲得和秦九韶“大衍求一術”相同的定理，並且對模數兩兩互素的情形給出了嚴格證明。尤拉和高斯事先並不知道華人的工作。公元1852年英國傳教士偉烈亞力（1815—1887）發表《中國科學摘記》，介紹了《孫子算經》物不知數題和秦九韶的解法，引起了歐洲學者的重視。1876年，德國馬蒂生（1830—1906）首先指出孫子問題的解法和高斯方法一致，當時德國著名數學史家康託（1829—1920）看到馬蒂生的文章以後，高度評價了“大衍術”，並且稱讚發現這一方法的中國數學家是“最幸運的天才”。直到今天，“大衍求一術”仍然引起西方數學史家濃厚的研究興趣。如1973年，美國出版的一部數學史專著《十三世紀的中國數學》中，系統介紹了中國學者在一次同餘論方面的成就，作者力勃雷希（比利時人）在評論秦九韶的貢獻的時候說道：“秦九韶在不定分析方面的著作時代頗早，考慮到這一點，我們就會看到，薩頓②稱秦九韶為‘他那個民族、他那個時代、並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一’，是毫不誇張的。”