什麼是期望

在機率論和統計學中，一個離散性隨機變數的期望是試驗中每次可能結果的機率乘以其結果的總和。換句話說，期望是隨機試驗在同樣的機會下重複多次的結果計算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望並不一定等同於常識中的“期望”。“期望”也許與每一個結果都不相等。

例子：擲一枚六面篩子，其點數的期望是3.5，計算方式如下：

期望的計算公式

期望和均值有些類似，甚至計算方式也類似，但它描述的機率分佈。為了求出期望，需要將每個數值x乘以該數值的發生機率，然後將所有結果求和。

期望的計算公式

下圖是一張拉老虎機的結果機率圖，x表示贏錢的數量，P(X=x)表示機率：

E(X) = (-1*0.977) + (4*0.008) + (9*0.008) + (14*0.006) + (19*0.001) = -0.77

這個結果表示：你能夠期望在每一局賠掉0.77元。

期望指出一個變數的典型值或平均值，但並不提供有關數值分散性的任何資訊，也就是說期望並不能反映一個變數未來的變化情況。一個遊戲者玩老虎機，並不是為了每一局遊戲輸掉0.77元，他更希望的是能有好運氣贏得更多的錢。這個時候方差就起作用了。

方差的計算公式

計算一批數字的方差方法如下：每個數字減去均值的差的平方，然後取所有結果的平均值。

類似地，計算變數X的方差公式如下：

方差的計算公式

其中μ是期望的另外一種寫法。

接著上面老虎機收益的例子，求出老虎機收益的方差如下：

Var(x) =E(x-μ)2

= (-1+0.77)2 * 0.977 + (4+0.77)2*0.008 + (9+0.77)2*0.008 + (14+0.77)2*0.006)+ (19+0.77)2*0.001

= 2.6971

標準差是取方差的平方根，計算公式如下：

標準差的計算公式

變化的期望和方差

如果上面拉老虎機的規則變化了，賭資增加了，變化後的結果機率圖如下：

計算可得出：

E(Y) = -0.85, Var(Y) = 67.4275

透過前後兩次期望、方差的對比，可以發現它們之間的如下關係：

E(Y) = 5 * E(X) + 3,

Var (Y) = 5*5* Var(X)

新舊期望、方差如果基礎機率保持不變，那麼它們之間必定存在以下關係：

這就是所謂的線性變化，因為X發生的是線性變化，即基礎機率保持不變，但數值變為新值，其形式為：aX + b。

獨立觀測值

如果老虎機的遊戲規則保持不變，但遊戲者同時玩多個老虎機，並且每個老虎機的期望、方差都分別為E(x)、Var(x)。這時每個老虎機的隨機變數值都是一個隨機變數值，表示為x1,x2,...xn。這時，期望、方差存在以下關係：