度量空間中緊集和閉集度量空間 (metric space) (M,d) 的一個子集 U 是開集，如果給定的任意一個 U 中的點 x，存在一個實數 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0 使得任意 M 中的點 y 有 d ( x , y ) < ε d(x,y)<\varepsilon d(x,y)<ε，y 也是屬於 U。相當於，U 是開集，如果任意一個 U 中的點的領域也包括在 U。

定義

緊集是拓撲空間內的一類特殊點集，它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。在度量空間內，緊集還可以定義為滿足以下任一條件的集合：

任意列有收斂子列且該子列的極限點屬於該集合（自列緊集）

具備Bolzano-Weierstrass性質

完備且完全有界

性質

緊集具有以下性質：

緊集必然是有界的閉集，但反之不一定成立。

緊集在連續函式下的像仍是緊集。

豪斯多夫空間的緊子集是閉集。

實數空間的非空緊子集有最大元素和最小元素。

Heine-Borel定理:在Rn內，一個集合是緊集當且僅當它是閉集並且有界。

定義在緊集上的連續實值函式有界且有最大值和最小值。

定義在緊集上的連續實值函式一致連續。

直觀理解

從某種意義上，緊集類似於有限集。舉最簡單的例子而言，在度量空間中，所有的有限集都有最大與最小元素。一般而言，無限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)）,但R中的非空緊子集都有最大和最小元素。在很多情況下，對有限整合立的證明可以擴充套件到緊集。一個簡單的例子是對以下性質的證明：定義在緊集上的連續實值函式一致連續。

類似概念

自列緊集：每個有界序列都有收斂的子序列。

可數緊集：每個可數的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋。

偽緊：所有的實值連續函式都是有界的。

弱可數緊緻：每個無窮子集都有極限點。

在度量空間中，以上概念均等價於緊集。

以下概念通常弱於緊集：

相對緊緻：如果一個子空間Y在母空間X中的閉包是緊緻的，則稱Y是相對緊緻於X。

準緊集：若空間X的子空間Y中的所有序列都有一個收斂的子序列，則稱Y是X中的準緊集。

區域性緊緻空間：如果空間中的每個點都有個由緊緻鄰域組成的區域性基，則稱這個空間是區域性緊緻空間。