前面的朋友說得都非常好，我從線性變換的角度說一下矩陣乘法的不可交換性。

線性變換的乘法:

首先考慮兩個線性變換A和B (在給定一組基下，它們所對應的矩陣是A和B)，對某向量x，我們定義先對它進行A變換，得到的結果後進行B變換，記為:

BA(x):=B(A(x))

而先B後A我們記為:

AB(x):=A(B(x))

以上兩者在給定一組基下，可以對應對矩陣的運算，即(BA)x和(AB)x.

線性變換的幾何意義

比如說，線性變換可以將一個正方體對映為一個平行六面體，可以將某個幾何體投影到某平面上(這反映到矩陣中就是不滿秩的)。總而言之，就是在特定的幾個方向進行伸縮。

(特定的幾個方向實際上與特徵向量有關)

說明

兩線性變換的乘法交換的結果對x的作用一般是不同的。

比如恰好A把x所在的線性子空間“壓縮”為零空間（x是A核中的元素）；而對於B並非如此此，Bx非但不為零，並且不在的A核中，於是我們有:

BA(x)=B(A(x))=B(0)=0

但是

AB(x)=A(B(x))非零

用這個思路可以舉出無數的例子。

補充:

在上面講述的過程中，我為了避免麻煩，故意將矩陣、向量的級數問題忽略，這個應該沒什麼大問題。如果存在矩陣和向量不能相乘的情況，我們可以透過增加零行、零列、零元素，使相乘兩者級數一致，我想這不是什麼難事。