曲率(k):描述曲線下降長度隨角度變化，k=limα→0∣∣ΔαΔs∣∣k=limα→0⁡|ΔαΔs|

R=1k=[1+(dydx)2]32d2ydx2=[1+(f′)2]32f′′R=1k=[1+(dydx)2]32d2ydx2=[1+(f′)2]32f″ （1）

曲率半徑計算公式

推導過程

曲線上某點的曲率半徑是該點的密切圓的半徑，在limΔs→0ΔαΔs=dαdslimΔs→0⁡ΔαΔs=dαds存在的條件下，k=∣∣dαds∣∣k=|dαds|。設曲線的方程為y=f(x)，且f(x)具有二階導數。因為tanα = y’(設-ππ/2<α<ππ/2)，所以

a=arctany’

dαdx=(arctany′)′dαdx=(arctany′)′

dα=(arctany′)′dx=y′′1+y′2dxdα=(arctan⁡y′)′dx=y″1+y′2dx

或者

sec2αdα=y""dx，

dα=y′′sec2αdx=y′′1+tan2αdx=y′′1+y′2dxdα=y″sec2αdx=y″1+tan2αdx=y″1+y′2dx

3. 因為 ds=1+y′2−−−−−−√dxds=1+y′2dx(密切圓面積求導)，從而得到曲率公式k=f′′[1+(f′)2]32k=f″[1+(f′)2]32。