物理上的向量，數學上有時候又把它叫做向量
經常用 表示，其 xyz 分量我們用 表示
兩個向量的「乘法」，常用的有兩種定義
一種叫做內積，或者叫做點乘，或者叫做標量積， ，這種乘法的計算結果是標量（也就是純數） ，等於兩個向量的大小（也叫做「模長」） 的乘積再乘以兩個向量夾角 的「餘弦」：
把分量寫出來：
所以，當兩個向量方向相同時，內積最大；方向相反時，內積最小（負值，絕對值最大）；方向垂直時，內積為零；當兩個向量交換乘法次序時，內積不變：
另一種叫做外積，或者叫做叉乘，或者叫做向量積， ，這種乘法的計算結果是另一個向量 ，這個向量 的大小等於原來兩個向量的大小的乘積再乘以兩個向量夾角 （小於180度）的「正弦」： ，這個向量的方向由「右手法則」規定：右手的四個手指指向第一個向量 ，然後四指（以小於180度的角度）彎曲向第二個向量 的方向，這時候大拇指方向即為外積向量 的方向
所以，當兩個向量方向平行（相同或者相反）時，外積為零；方向垂直時，外積最大；當兩個向量交換乘法次序時，外積大小不變，方向相反
向量外積可以利用 Levi-Civita 符號 把分量形式寫出來：定義 ，而 ，如果有任意兩個指標相同，等於零，例如 ，那麼有 ，或者 ， ，
可見，在計算向量外積時，a向量的x分量絕不可能和b向量的x分量乘在一起，三者一定是「錯開」的
從中學的角度來說，向量外積的結果垂直於原來兩個向量所組成的平面，或者說，是沿平面的「法向」；而且其方向有某種任意性，和我們的約定有關，如果不採用「右手規則」而採用「左手規則」，一切也可以成立
從本質上來說，向量外積之所以有定義，和我們所在的三維空間的某種「旋轉」特性有關，而在二維空間中，是不能定義向量外積的（類似方法定義出來的結果恆為零）
外積計算結果得到的向量和普通的向量有一定的區別，物理上叫做「贗向量」或者「軸向量」，它們在空間反射變換（即這樣的操作：把xyz軸的正向變成負向，負向變成正向， ）下不變，而普通的向量（為了和軸向量相區別，普通的向量又叫做「極向量」）在空間反射變換下是要變符號的
既然外積的計算結果仍然是向量 ，可以和另一個向量 繼續計算內積 ，這種乘法叫做「三重積」，三重積的大小（取絕對值） 等於以這三個向量為稜所得到的平行六面體的體積
物理上的向量，數學上有時候又把它叫做向量
經常用 表示，其 xyz 分量我們用 表示
兩個向量的「乘法」，常用的有兩種定義
一種叫做內積，或者叫做點乘，或者叫做標量積， ，這種乘法的計算結果是標量（也就是純數） ，等於兩個向量的大小（也叫做「模長」） 的乘積再乘以兩個向量夾角 的「餘弦」：
把分量寫出來：
所以，當兩個向量方向相同時，內積最大；方向相反時，內積最小（負值，絕對值最大）；方向垂直時，內積為零；當兩個向量交換乘法次序時，內積不變：
另一種叫做外積，或者叫做叉乘，或者叫做向量積， ，這種乘法的計算結果是另一個向量 ，這個向量 的大小等於原來兩個向量的大小的乘積再乘以兩個向量夾角 （小於180度）的「正弦」： ，這個向量的方向由「右手法則」規定：右手的四個手指指向第一個向量 ，然後四指（以小於180度的角度）彎曲向第二個向量 的方向，這時候大拇指方向即為外積向量 的方向
所以，當兩個向量方向平行（相同或者相反）時，外積為零；方向垂直時，外積最大；當兩個向量交換乘法次序時，外積大小不變，方向相反
向量外積可以利用 Levi-Civita 符號 把分量形式寫出來：定義 ，而 ，如果有任意兩個指標相同，等於零，例如 ，那麼有 ，或者 ， ，
可見，在計算向量外積時，a向量的x分量絕不可能和b向量的x分量乘在一起，三者一定是「錯開」的
從中學的角度來說，向量外積的結果垂直於原來兩個向量所組成的平面，或者說，是沿平面的「法向」；而且其方向有某種任意性，和我們的約定有關，如果不採用「右手規則」而採用「左手規則」，一切也可以成立
從本質上來說，向量外積之所以有定義，和我們所在的三維空間的某種「旋轉」特性有關，而在二維空間中，是不能定義向量外積的（類似方法定義出來的結果恆為零）
外積計算結果得到的向量和普通的向量有一定的區別，物理上叫做「贗向量」或者「軸向量」，它們在空間反射變換（即這樣的操作：把xyz軸的正向變成負向，負向變成正向， ）下不變，而普通的向量（為了和軸向量相區別，普通的向量又叫做「極向量」）在空間反射變換下是要變符號的
既然外積的計算結果仍然是向量 ，可以和另一個向量 繼續計算內積 ，這種乘法叫做「三重積」，三重積的大小（取絕對值） 等於以這三個向量為稜所得到的平行六面體的體積