下面我從高中數學的角度來談談：

導數與極限是在研究函式的變化率的時候引入的量。我們總是說變化率就是變化的量除以時間。但是，有的時候我們發現，用一段時間的變化量來描述變數似乎不太準確，例如我們研究的身高變化量的問題，同樣是一年時間，一個人長高的高度卻有可能不同，這是因為身高並不是像我們以前提到過的一次函式那樣是與時間成正比的(或者說是影象中的一個直線)。那麼為了解決這個問題，我就不用年作為分母的時間段了，我就要換一個小的，假如說一秒，甚至一毫秒，總之要多小有多小，小到可以“以直代曲”了。就是說本來曲線是彎的，但是由於時間段太小了，我就乾脆把他看作是由一個個微觀上小小的直線構成了宏觀上的直線。這個思想，我們叫做極限思想，極限其實就是一個無限接近的意思（十分通俗的說，具體定義大學會學到）。這個導數，從幾何意義上來講，是切線的斜率，也可以從極限的角度來說，其實就是在這一點x趨近於0時函式的極限。

其實微積分是分為兩種，一個是微分，還有一個是積分。

我先說一下積分，求導是從宏觀到微觀的過程，求積分就是從微觀到宏觀的過程。用我在資料中看到的說法，就是求一個量的總量。其實從它的幾何意義之中我們也可以理解，就是求曲邊圖形的面積的，在一些題目中如果我給這個面積賦予一定的生活意義，這就可以改變成一個應用題。你可以看看這幅圖來理解一下積分：

橫座標為時間，縱座標為速度。停車時間忽略不計。

這個微分是比較難理解的，但是你現在可以看成是我們小學學的“單位一”，就是一個“元”，物理中有元電荷的概念，電流方面也有元電流。dx，dy現在你也可以看作是一個x，y的“元”。（當然這樣說也是不嚴密的，但是你現在可以這樣來理解）

樓主好。

樓上老師講的有點深奧，我試著從不同的角度簡單談談微分、極限和積分吧。

大家可能都熟悉祖沖之計算圓周率的方法吧？——切圓法。切圓法就是典型的微積分思想。

為計算圓面積，將圓形切割為若干相等的扇形並使用三角形面積近似扇形面積。

其中，不斷細分圓形的過程就是微分;

將細分後的扇形面積求和以得到正多邊形面積就是積分。

在不斷細分圓形後，正多邊形面積將無限接近圓形面積，圓形面積就是當內接正多邊形的邊數無限增加時圓內接多邊形的極限。

想要深入學習近代數學知識，微積分是不可缺少的重要工具。甚止可以說，沒有微積分就基本上沒有現代科技。世界上任何國家的教育，都把微積分做為必修的重要內容。這就是為什麼我們在影片上總會看到臺灣教授，美國教授以及科學大神揚振寧不厭其煩的講解微積分的有關知識。

在平面座標糸的橫軸上，當變數x無限趨近於3時，它的極限是3，設ε是個無窮小量，因為在3-ε與變數x之間有無窮多個數，變數x永遠無法走完這無窮多的量，所以3-ε同樣是變數x的極限，所有大於3的數也可視為是變數的極限，即是說極限值不是唯一的。

設定極限的目的是為了便於求導，積分，其實也可以另闢溪徑。

從字面上容易理解，積分就是對於微觀量的求和，那麼什麼是微觀量?簡略的說，微量是一種足夠充分小的量，就測量所能達到的精確度而言，相對於宏觀量可以忽略不計，譬如錐體的表面看起來非常光滑，從微觀上看錐體從尖端至底部實際上是由半徑依次逐漸增大的圓臺組成，圓臺半徑的增量dr=θ，θ就是微觀量，宏觀上我們測不出微量θ，因此從宏觀的角度考察就有任意宏觀量R+θ=R，即是說，從宏觀上看，θ是一個可以等效為零的微觀數，但是微觀量θ在積分或求導時很有用。例如: 計算圓的面積

設圓可以分解為n層圓環，第訁層環寬為 rⅰ/n =θr，內徑長 2π(ⅰ-1)rθ，外徑長 2πirθ，平均長度 1/2 [2π(ⅰ-1)rθ+2πirθ]=πrθ(2i-1)

第i層圓環面積

Si=πrθ(2i-1)rθ = πr²θ²(2i-1) (i=1，2，……，n)

各層圓環面積之和構成圓面積。

S =πr²θ²(1+3+5+……+ 2n-1)

=πr²n²θ² = πr² (θ=1/n，nθ=1)

計算圓錐體積

圓錐分為n層薄圓片，第i層體積

vi=π(irθ)²hθ， h為圓錐高度，i=1，2，……，n，各變圓片體積之和構成圓錐體積，

故 Ⅴ=π(ⅰrθ)²hθ

=πr²hθ³(1²+2²+3²+……+n²)

=πr²hθ³(1/3n³+1/2 n²+1/6 n)，

， =1/3 πr²h

微分的意思是說自變數x有微增量時，函式有相應的微增量(線性主部)，函式在此處連續，可導。

求函式y=x²的導(函)數 在自變數x的鄰域各取點(x+θ，(x+θ)²)，(x-θ，(x-θ)²)

由兩點式取得函式在x處的切線的斜率

y’=(x+θ)²-(x-θ)² / (x+θ)-(x-θ) =4x²θ/ 2θ = 2x²

求y=sinx的導數

y’=(sin(x+θ))-(sin(x-θ) ) / (x+θ)-

(x-θ) = 2cosxsiθ/2θ

=cosxsinθ/θ = cosx (sinθ/θ =1)

曲線的長度

設自變數在x處橫座標的增量為dx=1θ，函式在縱座標方向上的增量則為f’(x)dx， y’=dy/dx，dx為微三角形的底邊，dy為對邊，斜邊的長近似為曲線上(x，fx)處的弧長，ds=(1+f’²(x))½，

曲線的孤長 s=∫(1+f’²(x))½dx