一。兩種觀點

初中，八年級學完開平方，開立方的概念後，常配有下面兩道判斷題：

觀點1.無理數是開方開不盡的數。

觀點2.開方開不盡的數是無理數。

這種類似頂真的車轆話，生活中經常用，一句話，正說對，倒說並不一定對。比如，蘋果是水果；倒過來說，水果是蘋果。很顯然，正說“蘋果是水果”，正確。倒說“水果是蘋果”，錯誤。因為水果是蘋果，梨，香蕉等眾多果品的總稱。蘋果只是其中之一。水果不一定是蘋果，還可以是梨，香蕉等其他果品。正說倒說的兩句話，在數學中稱為互逆命題，其中一個是原命題，另一個就是它的逆命題。同樣的道理，原命題對，其逆命題不一定對。

回到前面的兩種觀點，無理數是開方開不盡的數，正確。比如，圓周率丌是圓周長與直經之比，雖然與開方運算無關，但它是無理數，更是開不盡方的數。所以可以說無理數是開不盡方的數，但倒過來說，開方開不盡的數是無理數，就不一定成立了。比如5是開不盡方的數，但5不是無理數，根號5也是開不盡方的數，根號5又是無理數。

也就是說，觀點1,正確。觀點2,錯誤。

開方開不盡的數，其實是一類數的總稱，就象水果是蘋果，梨，香蕉等果品的總稱一樣。開方開不盡的數除了無理數以外還有眾多的有理數。比如，自然數2，3，5，6,，7，8等都是開方開不盡的數，但它們都是有理數，不是無理數。

所以題主以能否開盡方為標準來認識無理數，完整的描述應該是:無理數是開不盡方的數，但開不盡方的數不一定是無理數。

二。什麼叫開方開得盡？

說實話，初中以能否開得盡方為標準來認識無理數，是迫不得已的，帶有先天的侷限|性（有些無理數，如圓周率的發現，與開方沒有關係），同時帶來另一個問題是什麼叫開方開得盡?教材並沒有一個明確的定義，因而好多人對這個說法理解出現了偏差。

首先開方，本身就是一個總稱，它包含開平方，開立方，開四次方，。。。，開n次方，高中甚至把根指數推廣到任意實數，不止限於初中只能開正整數次方的認知，還是回到初中生的認知吧。

“開方開得盡”中，開方是指對數進行運算，開得盡是指運算的結果。

以自然數為例，象0，1，4，9，16，25等，對它們分別施以開平方運算，其結果分別是0，1，2，3，4，5，它們都是開平方能開盡的數。同樣的道理，象8，27，64，125等，它們都是開立方能開盡的數，開方的結果都是有理數。

象2，3，5，6，7等，對它們分別施以開平方，開立方，開四次方運算。。。，其結果都不是有理數，所以說它們是開方開不盡的數。

這裡要特別注意，不要把這些數和它們開方的結果混為一談。2是有理數，2開平方的結果有根號2，結果根號2是無理數；4是有理數，4開平方的結果還是有理數。

三。無理數是沒有道理的數嗎?

說無理數是沒有道理的數，更多是一種調侃，千萬別當真。從希帕索斯由正方形的對角線長髮現“那個數“，被畢達哥拉斯的鐵粉滅口以後，更多的人也發現了神秘的“那個數“，而“那個數“的命名，也十分傳奇。後來畫家兼科學家達.芬奇稱它為"無理的數"，天文學開普勒稱它為“不可名狀的數”，現在我們稱“那個數”為無理數純屬約定俗成。

無理數的數學含義其實是指所有不能表示為兩個整數之比的數。它是相對有理數的定義的，有理數是指所有能表示為兩個整數之比的數。比如，3/8，1/2，3/1等，就是分數，整數。這也是初中數學中，把整數和分數統稱為有理數的由來。而根號2，圓周率丌，自然常數e等都不能表示為兩個整數之比，所以它們都是無理數，丌和e更另類，它們不僅是無理數，更是無理數中的超越數（與代數數區別）。

同時，整數之比的結果（整數，有限小數，無限迴圈小數）的反面就無限不迴圈小數，因此在初中也稱無限不迴圈小數為無理數。

結語

用數學語言來描述“無理數”與“開方開不盡的數”之間的關係，是這樣的：

開方開不盡的數∈無理數

開方開不盡的數，教材中是以範例的形式給出的，例如√2，√5等

無理數，教材中給出的定義非常規範，即無限不迴圈小數。

產生理解錯誤的原因，是學生的思維慣勢，無限不迴圈小數叫無理數，剛剛所接觸的√2，√5等開方又開不盡，於是下意識地將它們等同起來。

而在數學概念教學中，要儘量避免學生形成這種慣勢，實際上，無理數在七年級剛剛引入的時候，大部分數也的確是開方開不盡造成的，但例外也有，比如說π，只是在學生學習過程中，這個少數派被忽略掉了。

而到了九年級，學生會接觸到更多產生無理數的機會，例如三角函式中，sin10°等，這會進一步擴充無理數陣營，恐怕至此，學生才算完全明白了無理數的構成，與有理數一樣，是一個龐大的體系。

因此，在七年級無理數概念的教學過程中，儘可能建立無理數是無限不迴圈小數，減少“開方開不盡的數就是無理數”的負面反饋，多從定義本身，正面引導學生，同時在命題過程中，也儘可能注意用詞規範。

這個好尬……

你說的確實沒錯

因為任何一個數都可求它的平方啊…

這有什麼奇怪的，又有什麼意義呢?

題目沒說清，什麼叫“開方開不盡”？是誰開方？開幾次方？什麼不盡？

我猜，你是說：整數（有理數）開整數次方，用10進製表示不盡且不迴圈。

恭喜你！猜錯了…

有理數開（整數次）方得到不迴圈小數時，確實是無理數，但只是很少一部分無理數，少到幾乎可以忽略不計。

比如：

³√2，是方程x³-2=0的根，

(√5-1)/2，是方程x²+x+1=0的根。

它們都是代數數，也都是無理數，後者是著名的黃金分割數：0.618…

但π=3.14… e=2.718… 都不是任何一個有理係數多項式方程的根，他們都是超越數。

顯然有理數都是代數數，所以所有超越數都是無理數。進一步，根據集合論我們顯然可知：

實數無窮>有理數無窮（可數）

代數數顯然是可數無窮（有理係數多項式是可數的）

所以超越數無窮>代數數

同時有理數開方是代數數的子集

通俗的說，就是“幾乎所有的”無理數，都不能表達為有理數開整數次方。