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  • 1 # 小黃和他自己

    可去間斷點即左極限=右極限=有限值,與此點取值、有無定義均無關,可以透過重新定義讓其連續的點。

    當x→0+時,limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(xlnx)

    因為0^0=1,所以分子在x→0+時是趨近於0的;對於分母,xlnx=lnx/(1/x),應用L"Hospital法則便知在x→0+時也是趨近於0的。

    故,分子分母滿足0/0型的L"hospital法則,lim(x^x-1)/(xlnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(lnx+1)=lim(x^x)=1

    當x→0-時,limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]

    同理,分子分母滿足0/0型的L"hospital法則,lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]=lim[(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+1]=lim[(-x)^x]=1

    綜上,當x→0時,左極限=右極限=1,故,x=0是可去間斷點。

    (2)當x→-1時,limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]

    情況類似於x→0,分子1-(-x)^x→0;分母(x+1)ln(-x)滿足∞/∞的L"Hospital法則,其極限為0。

    所以,總體上滿足0/0型的L"Hospital法則,

    limf(x)=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]=lim[-(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+(x+1)/x]→∞

    其中,x→-1+時為+∞,x→-1-時為-∞,這是無窮間斷點,不滿足要求。捨去。

    (3)當x→1時,limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(2lnx)

    分子分母滿足0/0型的L"Hospital法則,有

    lim(x^x-1)/(2lnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(2/x)=1/2,故x=1也是可去間斷點。

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