f（x）=lnx/(1+x)-lnx+ln(x+1) 其定義域為（0.+∞）f（x）≥a的解集為（0.+∞），即a小於等於f（x）的最小值f（x）導=1/x(1+x)-lnx/(1+x)^2-1/x+1/(x+1)=[(1+x)-x*lnx-(1+x)^2+x*(1+x)]/[x*(1+x)^2]=lnx/(1+x)^2顯然在(0,1)上f（x）<0,在（1.+∞）上f（x）>0所以f(1)為f(x)的最小值=ln1/(1+1）-ln1+ln（1+1)=ln2所以a≤ln2例如：0<c<1/2e設x1>x2ln(x1x2)=c(x1^2+x2^2)ln(x1/x2)=c(x1-x2)(x1x2)=e^(c(x1^2+x2^2))>1ln(x1/x2)/ln(x1x2)=(x1^2-x2^2)/(x1^2+x2^2)假設x1x2<=e 則 0<ln(x1x2)<=1ln(x1/x2)<=(x1^2-x2^2)/(x1^2+x2^2)令t=x1/x2 t>1lnt>(t^2-1)/(t^2+1)設g(t)=lnt-(t^2-1)/(t^2+1)g"(t)=(t^2-1)^2/t>0 g(t)在……遞增g(1)=0 g(t)>0與假設矛盾所以 x1x2>e 得證
f（x）=lnx/(1+x)-lnx+ln(x+1) 其定義域為（0.+∞）f（x）≥a的解集為（0.+∞），即a小於等於f（x）的最小值f（x）導=1/x(1+x)-lnx/(1+x)^2-1/x+1/(x+1)=[(1+x)-x*lnx-(1+x)^2+x*(1+x)]/[x*(1+x)^2]=lnx/(1+x)^2顯然在(0,1)上f（x）<0,在（1.+∞）上f（x）>0所以f(1)為f(x)的最小值=ln1/(1+1）-ln1+ln（1+1)=ln2所以a≤ln2例如：0<c<1/2e設x1>x2ln(x1x2)=c(x1^2+x2^2)ln(x1/x2)=c(x1-x2)(x1x2)=e^(c(x1^2+x2^2))>1ln(x1/x2)/ln(x1x2)=(x1^2-x2^2)/(x1^2+x2^2)假設x1x2<=e 則 0<ln(x1x2)<=1ln(x1/x2)<=(x1^2-x2^2)/(x1^2+x2^2)令t=x1/x2 t>1lnt>(t^2-1)/(t^2+1)設g(t)=lnt-(t^2-1)/(t^2+1)g"(t)=(t^2-1)^2/t>0 g(t)在……遞增g(1)=0 g(t)>0與假設矛盾所以 x1x2>e 得證