正弦訊號、餘弦訊號與復指數訊號（尤拉公式）

生活中不存在複數，但是《訊號與系統》《數字訊號處理》偏偏離不開復指數 e(jwt)，這就涉及到復指數在推導和運算時的一些重要性質，以及其與正弦餘弦訊號的關係。

1. 可用復指數訊號表示正弦/餘弦訊號

當指數訊號的指數因子是複數時，稱之為復指數訊號。其表示式為 f(t)=Kest,s=σ+jw。

根據尤拉公式，一個復指數訊號可以分為實部和虛部兩部分（eiθ=cosθ+isinθ）。實部包含餘弦訊號，虛部則是正弦訊號。

{eiθ=cosθ+isinθe−iθ=cosθ−isinθ⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosθ=eiθ+e−iθ2sinθ=eiθ−e−iθ2i

且有：

|ejwt|=cos2+sin2=1

2. 復指數訊號

如果我們對一個系統輸入復指數訊號，輸出必定也是復指數訊號，根據複數相等實部實部相等、虛部虛部相等的原則，那麼輸出的實部與輸入的實部：cos（wt）相對應；輸出的虛部與輸入的虛部：sin(wt)相對應。

這有一個好處：輸入一個復指數函式就同時解決了系統輸出的振幅和相位的問題：因為輸出的振幅等於響應實部的平方與虛部的平方和的開方；而輸出的相位等於響應虛部與實部的比值的反正切。對於線性控制系統輸入是正弦的輸出也是正弦的，且週期不變。