切線方程是研究切線以及切線的斜率方程，涉及幾何、代數、物理向量、量子力學等內容。是關於幾何圖形的切線座標向量關係的研究。分析方法有向量法和解析法。證明:向量法設圓上一點A為(x0,y0),則該點與圓心O的向量OA(x0-a,y0-b)

　　例 求曲線 的斜率等於4的切線方程．　　分析：導數反映了函式在某點處的變化率，它的幾何意義就是相應曲線在該點處切線的斜率，由於切線的斜率已知，只要確定切點的座標，先利用導數求出切點的橫座標，再根據切點在曲線上確定切點的縱座標，從而可求出切線方程．　　解：設切點為 ，則　　 ，∴ ，即 ，∴ 　　當 時， ，故切點P的座標為（1，1）．　　∴所求切線方程為 　　即 　　說明：數學問題的解決，要充分考慮題設條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結論的相應關係，解答這類問題常見的錯誤是忽略切點既在曲線上也在切線上這一關鍵條件，或受思維定勢的消極影響，先設出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運算量變大．利用公式2求函式的導數　　例 求下列函式的導數：　　1． ；2． ；3． ．　　分析：根據所給問題的特徵，恰當地選擇求導公式，將題中函式的結構施行調整．函式 和 的形式，這樣，在形式上它們都滿足冪函式的結構特徵，可直接應用冪函式的導數公式求導．　　解：1． 　　2． 　　3． 　　說明：對於簡單函式的求導，關鍵是合理轉化函式關係式為可以直接應用公式的基本函式的模式，以免求導過程中出現指數或係數的運算失誤．運算的準確是數學能力高低的重要標誌，要從思想上提高認識，養成思維嚴謹，步驟完整的解題習慣，要形成不僅會求，而且求對、求好的解題標準．求常函式的導數　　例 設 ，則 等於（ ）　　 A． B． C．0 D．以上都不是　　分析：本題是對函式的求導問題，直接利用公式即可　　解：因為 是常數，常數的導數為零，所以選C．求曲線方程的交點處切線的夾角　　例 設曲線 和曲線 在它們的交點處的兩切線的夾角為 ，求 的值．　　分析：要求兩切線的夾角，關鍵是確定在兩曲線交點處的切線的斜率．根據導數的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點處的導數，再應用兩直線夾角公式求出夾角即可．　　解：聯立兩曲線方程 解得兩曲線交點為（1，1）．　　設兩曲線在交點處的切線斜率分別為 ，則　　 　　由兩直線夾角公式　　 　　說明：探求正確結論的過程需要靈巧的構思和嚴謹的推理運算．兩曲線交點是一個關鍵條件，函式在交點處是否要導也是一個不能忽視的問題，而準確理解題設要求則是正確作出結論的前提．求直線方程　　例 求過曲線 上點 且與過這點的切線垂直的直線方程．　　分析：要求與切線垂直的直線方程，關鍵是確定切線的斜率，從已知條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先透過求導確定曲線在點P處切線的斜率，再根據點斜式求出與切線垂直的直線方程．　　解： ，∴ 　　曲線在點 處的切線斜率是 　　∴過點P且與切線垂直的直線的斜率為 ，　　∴所求的直線方程為 ，　　即 ．　　說明：已知曲線上某點的切線這一條件具有雙重含義．在確定與切線垂直的直線方程時，應注意考察函式在切點處的導數 是否為零，當 時，切線平行於x軸，過切點P垂直於切線的直線斜率不存在．