(1)證：假設對於任意x∈[0,1]，f(x)﹤0，

那麼f(x)/x﹤0，由保號性知lim(x→0)f(x)/x﹤0，矛盾，

假設對於任意x∈[0,1]，f(x)﹥0，

那麼f(x)/(x-1)﹤0，由保號性知lim(x→0)f(x)/x﹤0，矛盾，

∴存在ζ1,ζ2∈(0,1)使f(ζ1)﹥0，f(ζ2)﹤0，

又∵f(x)在ζ1與ζ2之間連續，

∴由零點定理知存在ζ在ζ1與ζ2之間使f(ζ)=0，

∴存在ζ∈(0,1)使f(ζ)=0。

(2)證：f(0)=f(1)=0，f′(0)=1，f′(1)=2，

設g(x)=f(x)/e^x，∴g(x)在[0,1]上可導，g(0)=g(1)=0，

∴由羅爾中值定理知存在η1∈(0,1)使g′(η1)=0，

即(f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1)/e^(2η1)=0，

∴f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1=0，

設h(x)=f′(x)·e^x-f(x)·e^x，

∴h(0)=1，h(η1)=0，h(1)=2e，h(x)在[0,1]上連續，

∴存在η2∈(η1,1)使h(η2)=1，∴h(0)=h(η2)，

又∵h(x)在[0,η2]上可導，

∴由羅爾中值定理知存在η∈(0,η2)使h′(η)=0，

即f″(η)·e^η+f′(η)·e^η-f′(η)·e^η-f(η)·e^η=0，

∴f″(η)·e^η-f(η)·e^η=0，∴f″(η)=f(η)，

∴存在η∈(0,1)使f″(η)=f(η)。