誤差基本概念
這裡涉及兩種基本的誤差。
絕對誤差：x-a，其中a是x的一個近似值。
相對誤差： 絕對誤差可能會引起誤會，不能正確反映誤差變化。比如x1 = 3.0000,a1 = 3.100，x2=3000，a2=3100，計算看來x1-a1=-0.1，x2-a2=-100，兩個絕對誤差是不同的，但是計算一下相對誤差會發現是同一數量級的。因此採用相對誤差衡量誤差的大小變化更為精確。
問題： 但是有一個問題是，現實中，我們並不清楚真實值x的大小怎麼辦呢？
解決方案 使用a作為x的近似值，來計算相對誤差，即。
3. 絕對誤差界 定義為絕對誤差界
4. 相對誤差界 定義為相對誤差界。
因為，絕對誤差解是一個大於等於|x-a|的數值，因此絕對誤差界和相對誤差界並不唯一。
3.有效數字
首先，明確有效位數的概念。以為例子，假設a1=3.14，a2=3.1416這種選取近似值的特點是，誤差界不超過它們末位數字的半個單位。
範數
定義：我們希望把任何一個向量或矩陣與一個非負實數聯絡起來，在某種意義下，這個實數能提供向量和矩陣的大小度量。由於多方面的用途，這樣做是方便的。我們希望這樣一個數量類似於一個複數的模。 可以把範數看成一個函式對映過程，，其中y是對映後的範數，f是對應的各種範數變換。 範數的概念是複數模的概念的自然推廣。
1.向量範數及其等價性
（1）向量範數
什麼是範數 範數滿足三個性質
非負性：，並且||x||=0的充要條件為x=0
齊次性：
三角不等式： 滿足以上三個條件，稱||·||為範數。
P-範數
P範數的定義如下
透過推導，我們會得到三種經典的範數如下：（推導過程不需要掌握，記住經典的三種向量範數的求解公式即可）
典型的向量範數有三種
證明二範數滿足性質三，三角不等式
加權範數
定義為：
2. 矩陣範數及相容矩陣範數的性質
（1）矩陣範數
矩陣可以透過變化拉伸成一維的向量，進而可以將向量範數的概念推廣到矩陣範數。記住，這裡的推廣是基於將矩陣轉換成一維向量實現的。
矩陣因為涉及到矩陣的乘法，因此矩陣範數的定義相較於向量範數有一些條件上的增強。
非負性：對任意矩陣A均有||A||≥0，並且||A||=0的充分必要條件為A=0
三角不等式：
相容性：
因此有由向量範數推廣得到的三種矩陣範數。
實際運算中，不止會出現矩陣相乘，矩陣與向量相乘更是常常出現，那麼如何衡量矩陣和向量之間的關係呢？因此就提出了矩陣範數與向量範數的相容性問題。
定義：對於一種矩陣範數和一種向量範數，如果對任意m x n矩陣A和任意n維向量x，滿足
則稱矩陣範數與向量範數是相容的。
事實上可以證明，任意一種矩陣範數必然存在與之相容的向量範數。
矩陣範數與向量範數相容的性質反映這樣一個事實：矩陣A的範數||A||是象Ax的範數||Ax||和原象x的範數||x||之比的一個上界，即。因此可以用||A||來評估變換A的結果，但是這種估計非常粗糙。現在的問題是象Ax的範數||Ax||和原象x的範數||x||之比的上界中的最小上界或上確界是否仍是A的範數。從而引出運算元範數的概念。
（2）運算元範數
首先，有運算元範數的定義。
我們可以證明出確實是一個範數（透過證明滿足矩陣範數的四個條件）。
我們稱1-25定義的矩陣範數是從屬於向量範數||·||v的矩陣範數，簡稱從屬範數或運算元範數。
進而我們透過推導，可以得到常用的從屬於向量1-範數，2-範數，∞-範數的矩陣範數，我們稱之為列範數，譜範數和行範數。
誤差基本概念
這裡涉及兩種基本的誤差。
絕對誤差：x-a，其中a是x的一個近似值。
相對誤差： 絕對誤差可能會引起誤會，不能正確反映誤差變化。比如x1 = 3.0000,a1 = 3.100，x2=3000，a2=3100，計算看來x1-a1=-0.1，x2-a2=-100，兩個絕對誤差是不同的，但是計算一下相對誤差會發現是同一數量級的。因此採用相對誤差衡量誤差的大小變化更為精確。
問題： 但是有一個問題是，現實中，我們並不清楚真實值x的大小怎麼辦呢？
解決方案 使用a作為x的近似值，來計算相對誤差，即。
3. 絕對誤差界 定義為絕對誤差界
4. 相對誤差界 定義為相對誤差界。
因為，絕對誤差解是一個大於等於|x-a|的數值，因此絕對誤差界和相對誤差界並不唯一。
3.有效數字
首先，明確有效位數的概念。以為例子，假設a1=3.14，a2=3.1416這種選取近似值的特點是，誤差界不超過它們末位數字的半個單位。
範數
定義：我們希望把任何一個向量或矩陣與一個非負實數聯絡起來，在某種意義下，這個實數能提供向量和矩陣的大小度量。由於多方面的用途，這樣做是方便的。我們希望這樣一個數量類似於一個複數的模。 可以把範數看成一個函式對映過程，，其中y是對映後的範數，f是對應的各種範數變換。 範數的概念是複數模的概念的自然推廣。
1.向量範數及其等價性
（1）向量範數
什麼是範數 範數滿足三個性質
非負性：，並且||x||=0的充要條件為x=0
齊次性：
三角不等式： 滿足以上三個條件，稱||·||為範數。
P-範數
P範數的定義如下
透過推導，我們會得到三種經典的範數如下：（推導過程不需要掌握，記住經典的三種向量範數的求解公式即可）
典型的向量範數有三種
證明二範數滿足性質三，三角不等式
加權範數
定義為：
2. 矩陣範數及相容矩陣範數的性質
（1）矩陣範數
矩陣可以透過變化拉伸成一維的向量，進而可以將向量範數的概念推廣到矩陣範數。記住，這裡的推廣是基於將矩陣轉換成一維向量實現的。
矩陣因為涉及到矩陣的乘法，因此矩陣範數的定義相較於向量範數有一些條件上的增強。
非負性：對任意矩陣A均有||A||≥0，並且||A||=0的充分必要條件為A=0
齊次性：
三角不等式：
相容性：
因此有由向量範數推廣得到的三種矩陣範數。
實際運算中，不止會出現矩陣相乘，矩陣與向量相乘更是常常出現，那麼如何衡量矩陣和向量之間的關係呢？因此就提出了矩陣範數與向量範數的相容性問題。
定義：對於一種矩陣範數和一種向量範數，如果對任意m x n矩陣A和任意n維向量x，滿足
則稱矩陣範數與向量範數是相容的。
事實上可以證明，任意一種矩陣範數必然存在與之相容的向量範數。
矩陣範數與向量範數相容的性質反映這樣一個事實：矩陣A的範數||A||是象Ax的範數||Ax||和原象x的範數||x||之比的一個上界，即。因此可以用||A||來評估變換A的結果，但是這種估計非常粗糙。現在的問題是象Ax的範數||Ax||和原象x的範數||x||之比的上界中的最小上界或上確界是否仍是A的範數。從而引出運算元範數的概念。
（2）運算元範數
首先，有運算元範數的定義。
我們可以證明出確實是一個範數（透過證明滿足矩陣範數的四個條件）。
我們稱1-25定義的矩陣範數是從屬於向量範數||·||v的矩陣範數，簡稱從屬範數或運算元範數。
進而我們透過推導，可以得到常用的從屬於向量1-範數，2-範數，∞-範數的矩陣範數，我們稱之為列範數，譜範數和行範數。