連續性是數學分析裡面最基礎的概念，很多人對於連續性的理解是這樣的

.

這個理解沒有錯，但是連續性有其他5-6種等價定義。考慮連續函式 , 這裡你不妨認為 .

2. 對於任意 和 ，存在 使得

3. 對於任意開集 , 依然是開集。

4. 對於任意閉集 , 依然是閉集。

5. 對於任意集合 , ,

6. 對於任意集合 成立。

7。還可以用濾子刻畫，這個對於初學者不友好，我就不提了。

這幾個才是連續性的基本「結論」，因為它是等價刻畫。它們和「緊性」和「連通性」等其他性質結合才產生了後續的其他性質。最重要的是兩條，

1 連續函式把緊集映成緊集（所謂連續函式的有界和有最值本質是都是從這個來的）

2 連續函式把連通集映成連通集（連續函式的介值性是從這個性質來的）

這兩條的重要性在於，它們反過來可以刻畫連續性，也就說如果一個函式滿足：把緊集映成緊集並且把連通集映成連通集，那麼這個函式就是連續的（這個結論在某些拓撲空間上也成立）。

在遇到一個問題後，如果裡面提到連續性的時候，你利用它要多從不同的定義出發去理解，這些定義是有確實用處的。你得明白一個道理「定義本身就是最大的工具」，所謂的結論只是它們的衍生品。

下面本人的live就是關於連續函式和度量空間的live，這裡這些東西會在那裡詳細講解，有興趣的同學可以檢視