二次函式作為初中學習的基本初等函式，是中考的熱點和難點,尤其是二次函式的動點問題,更是讓不少同學頭疼,大多數都是隻會做第一問或是沒時間做後面的問題.

一、數學模型

二、典型真題剖析

1、面積類

（2016山東東營，25，12分）

在平面直角座標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的座標分別是（0，4）、（－1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90º，得到平行四邊形A′B′OC′.

（1）若拋物線過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；

（2）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？並求出此時M的座標；

（3）若P為拋物線上的一動點，N為x軸上的一動點，點Q座標為（1，0），當P、N、B、Q構成平行四邊形時，求點P的座標，當這個平行四邊形為矩形時，求點N的座標.

【逐步提示】(1)由旋轉的性質求出A′的座標，再由待定係數法求出拋物線的解析式．(2)用待定係數法求出直線AA′的解析式，設M的橫座標為x，列出△AMA′的面積關於x的函式，配方求出函式的最大值，即面積的最大值．(3)由於平行四邊形的頂點順序不確定，故分類討論，可分BQ為邊和BQ為對角線兩種情況進行討論，求出點P的座標．結合B(1，4)，Q(1，0)的座標可得當平行四邊形為矩形時的點P的座標．

【解後反思】1．座標系或網格中求一般三角形面積的常用方法：

(1)分割法：過三角形的一個頂點作平行於y軸或x軸的直線將三角形分成兩個三角形，用分成的兩個三角形面積的和或差表示三角形的面積；

(2)補形法：過三角形的三個頂點作平行於x軸、y軸的直線，得到矩形，將三角形的面積表示為矩形的面積減去多個直角三角形的面積；

(3)等積轉化法：利用平行線間距離處處相等，將三角形的面積轉化為一個與它面積相等且易求的三角形的面積．

2．幾何問題中與面積最值有關的問題的解題思路：

(1)分析問題，找到與面積相關的一個變數；

(2)建立面積與另一個變數的二次函式模型；

(3)配方法或利用頂點公式求出自變數的取值及面積的最值．

2、平行四邊形類

【逐步提示】本題考查了用待定係數法確定二次函式的解析式、圖形面積、函式的最大值、平行四邊形的知識，解題的關鍵是掌握二次函式的有關性質及數形結合思想的應用．（1）利用頂點座標（2，9），將拋物線寫成頂點式 ，再把A（0，5）代入求出a，從而求得拋物線的解析式． （2）由於AC平行於x軸，所以C點的縱座標等於5，代入（1）中拋物線可求得C點的橫座標．因為四邊形APCD的面積是由△APC和△ADC的面積和組成，透過設P點的橫座標為m，由於點D在直線AB上，所以可以用m的代數式表示出點D的縱座標，然後利用水平底，鉛垂高可將四邊形APCD的面積用含m的式子表示出來，再進行配方，就可求出面積的最大值．（3）過M作MH垂直於對稱軸，因為四邊形是以AE為邊的平行四邊形，所以△MNH≌△AEO，得OE＝NH，MH＝OA．可以求得M點的橫座標，再代入拋物線即可得縱座標．利用M點的縱座標可以得到N點的縱座標．

【解後反思】二次函式的綜合題型，其中涉及到的知識點一般較多，有拋物線與座標軸的交點座標求法，幾何圖形的面積，三角形全等、相似、圓等，還有與一次函式聯立解題等，綜合性較強，有一定難度．一般在解決有關平行四邊形頂點問題時，通常應用平行四邊形對邊平行且相等，用平移法可找到相鄰頂點之間的聯絡．這樣的題型一般用到數形結合、分類討論及方程思想．

3、探究類

如圖，在平面直角座標系中，直線y=－2x+10與x軸，y軸相交於A，B兩點．點C的座標是(8，4)，連線AC，BC．

(1)求過O，A，C三點的拋物線的解析式，並判斷△ABC的形狀；

(2)動點P從點O出發，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，PA=QA？

(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的座標；若不存在，請說明理由．

【逐步提示】(1)分別把x=0和y=0代入解析式可得A，B的座標，然後用待定係數法求出拋物線的解析式．利用勾股定理求出AB、BC、AC的長，再由勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形．(2)利用勾股定理構建方程，解方程求出t的值．(3)先求出拋物線的對稱軸是x=2.5，設M的座標為(2.5，m)，然後分AM=BM，AB=BM，AB=AM三種情況討論．

【解後反思】1．存在型問題的探究方法：

(1)直接求解法：就是直接從已知條件入手，逐步試探，求出滿足條件的物件；

(2)假設求解法：就是先假設結論存在，再從已知條件、定義、定理出發進行推理，或根據已知條件構建方程，若得到符合條件的結論，則假設成立，否則，假設不成立，結論不存在．

2．待定係數法求二次函式解析式需要熟練掌握三種類型：

①一般式：已知任意三點的座標，可設二次函式的解析式為y=ax2＋bx＋c；

②頂點式：已知頂點(h，k)和另一個點的座標，可設二次函式的解析式為y=a(x－h)2＋k；

祝 好！

首先確保第一問是正確的

無論你動點問題的理論、技巧、方法掌握多少，第一問都沒有做對，做第二問完全沒有意義；所以確保第一問正確！

方法：設點，根據題目要設點，點可以透露很多資訊，透過點可以表示線段長度，特別是橫平豎直的線段長度，點、線、面本身就是這類題目的考察大方向；點到線：在直角座標系中，要善於利用一次函式和二次函式的方法到動點問題中來，例如直線平行與垂直，直線交點這些都要能迅速求解出來；

1.最值問題：一般以線段長度的最值問題（線段長、線段和差），面積問題等；此類題型一般要掌握最值問題的幾類模型（此處不展開），設點方法，線段長的表示方法，面積的表示方法等，掌握這些得分不難；

當然以上只是方向性的問題，若要解決此類問題，還要掌握幾何基礎知識，至少應用的時候不能出現卡住的現象，例如等腰三角形的性質問題；