等比數列 如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。 （1）等比數列的通項公式是：An=A1*q^（n－1） 若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q＞0時，則可把an看作自變數n的函式，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q不等於 1) 任意兩項am，an的關係為an=am·q^(n-m) （3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中項：aq·ap=ar*2，ar則為ap，aq等比中項。 記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。 編輯本段性質 ①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則am·an=ap·aq； ②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列. “G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”. ③若（an）是等比數列，公比為q1，（bn）也是等比數列，公比是q2，則 （a2n），（a3n）…是等比數列，公比為q1^2，q1^3… （can），c是常數，（an*bn），（an/bn)是等比數列，公比為q1，q1q2，q1/q2。 (5) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 在等比數列中，首項A1與公比q都不為零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 (6)由於首項為a1，公比為q的等比數列的通向公式可以寫成an*q/a1=q^n，它的指數函式y=a^x有著密切的聯絡，從而可以利用指數函式的性質來研究等比數列。 編輯本段等比數列的應用 等比數列在生活中也是常常運用的。 如：銀行有一種支付利息的方式——複利。 即把前一期的利息赫本金價在一起算作本金， 在計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。 按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期 等差數列 如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。 等差數列的通項公式為： an=a1+(n-1)d (1) 前n項和公式為： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬於正整數 從(1)式可以看出，an是n的一次數函(d≠0)或常數函式(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由(2)式知，Sn是n的二次函式(d≠0)或一次函式(d=0，a1≠0)，且常數項為0。 在等差數列中，等差中項：一般設為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項。 且任意兩項am，an的關係為： an=am+(n-m)d 它可以看作等差數列廣義的通項公式。 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數列，等等。 和＝（首項＋末項）×項數÷2 項數＝（末項-首項）÷公差＋1 首項=2和÷項數-末項 末項=2和÷項數-首項 末項=首項+（項數-1）×公差 等差數列的應用： 日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別 時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。 若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。 3．等差數列的基本性質 ⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d． ⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd． ⑶若、為等差數列，則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數)也是等差數列． ⑷對任何m、n ，在等差數列中有：a = a + (n－m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性． ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數個數相等），那麼當為等差數列時，有：a + a + a + … = a + a + a + … ． ⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差)． ⑺如果是等差數列，公差為d，那麼，a ，a ，…，a 、a 也是等差數列，其公差為－d；在等差數列中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 ) ⑻在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項． ⑼當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等於一個常數． ⑽設a ，a ，a 為等差數列中的三項，且a 與a ，a 與a 的項距差之比 = （ ≠－1），則a = ． 5．等差數列前n項和公式S 的基本性質 ⑴數列為等差數列的充要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數)． ⑵在等差數列中，當項數為2n (n N )時，S －S = nd， = ；當項數為(2n－1) (n )時，S －S = a ， = ． ⑶若數列為等差數列，則S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差數列，公差為 ． ⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是S 、T (n為奇數)，則 = ． ⑸在等差數列中，S = a，S = b (n＞m)，則S = (a－b)． ⑹等差數列中， 是n的一次函式，且點（n， ）均在直線y = x + (a － )上． ⑺記等差數列的前n項和為S ．①若a ＞0，公差d＜0，則當a ≥0且a ≤0時，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，則當a ≤0且a ≥0時，S 最小．
等比數列 如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。 （1）等比數列的通項公式是：An=A1*q^（n－1） 若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q＞0時，則可把an看作自變數n的函式，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q不等於 1) 任意兩項am，an的關係為an=am·q^(n-m) （3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中項：aq·ap=ar*2，ar則為ap，aq等比中項。 記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。 編輯本段性質 ①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則am·an=ap·aq； ②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列. “G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”. ③若（an）是等比數列，公比為q1，（bn）也是等比數列，公比是q2，則 （a2n），（a3n）…是等比數列，公比為q1^2，q1^3… （can），c是常數，（an*bn），（an/bn)是等比數列，公比為q1，q1q2，q1/q2。 (5) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 在等比數列中，首項A1與公比q都不為零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 (6)由於首項為a1，公比為q的等比數列的通向公式可以寫成an*q/a1=q^n，它的指數函式y=a^x有著密切的聯絡，從而可以利用指數函式的性質來研究等比數列。 編輯本段等比數列的應用 等比數列在生活中也是常常運用的。 如：銀行有一種支付利息的方式——複利。 即把前一期的利息赫本金價在一起算作本金， 在計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。 按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期 等差數列 如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。 等差數列的通項公式為： an=a1+(n-1)d (1) 前n項和公式為： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬於正整數 從(1)式可以看出，an是n的一次數函(d≠0)或常數函式(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由(2)式知，Sn是n的二次函式(d≠0)或一次函式(d=0，a1≠0)，且常數項為0。 在等差數列中，等差中項：一般設為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項。 且任意兩項am，an的關係為： an=am+(n-m)d 它可以看作等差數列廣義的通項公式。 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數列，等等。 和＝（首項＋末項）×項數÷2 項數＝（末項-首項）÷公差＋1 首項=2和÷項數-末項 末項=2和÷項數-首項 末項=首項+（項數-1）×公差 等差數列的應用： 日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別 時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。 若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。 3．等差數列的基本性質 ⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d． ⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd． ⑶若、為等差數列，則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數)也是等差數列． ⑷對任何m、n ，在等差數列中有：a = a + (n－m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性． ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數個數相等），那麼當為等差數列時，有：a + a + a + … = a + a + a + … ． ⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差)． ⑺如果是等差數列，公差為d，那麼，a ，a ，…，a 、a 也是等差數列，其公差為－d；在等差數列中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 ) ⑻在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項． ⑼當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等於一個常數． ⑽設a ，a ，a 為等差數列中的三項，且a 與a ，a 與a 的項距差之比 = （ ≠－1），則a = ． 5．等差數列前n項和公式S 的基本性質 ⑴數列為等差數列的充要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數)． ⑵在等差數列中，當項數為2n (n N )時，S －S = nd， = ；當項數為(2n－1) (n )時，S －S = a ， = ． ⑶若數列為等差數列，則S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差數列，公差為 ． ⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是S 、T (n為奇數)，則 = ． ⑸在等差數列中，S = a，S = b (n＞m)，則S = (a－b)． ⑹等差數列中， 是n的一次函式，且點（n， ）均在直線y = x + (a － )上． ⑺記等差數列的前n項和為S ．①若a ＞0，公差d＜0，則當a ≥0且a ≤0時，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，則當a ≤0且a ≥0時，S 最小．