等比數列 如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示。 (1)等比數列的通項公式是:An=A1*q^(n-1) 若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時,則可把an看作自變數n的函式,點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。 (2)求和公式:Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提:q不等於 1) 任意兩項am,an的關係為an=am·q^(n-m) (3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} (4)等比中項:aq·ap=ar*2,ar則為ap,aq等比中項。 記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列;反之,以任一個正數C為底,用一個等差數列的各項做指數構造冪Can,則是等比數列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。 編輯本段性質 ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq; ②在等比數列中,依次每 k項之和仍成等比數列. “G是a、b的等比中項”“G^2=ab(G≠0)”. ③若(an)是等比數列,公比為q1,(bn)也是等比數列,公比是q2,則 (a2n),(a3n)…是等比數列,公比為q1^2,q1^3… (can),c是常數,(an*bn),(an/bn)是等比數列,公比為q1,q1q2,q1/q2。 (5) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 在等比數列中,首項A1與公比q都不為零. 注意:上述公式中A^n表示A的n次方。 (6)由於首項為a1,公比為q的等比數列的通向公式可以寫成an*q/a1=q^n,它的指數函式y=a^x有著密切的聯絡,從而可以利用指數函式的性質來研究等比數列。 編輯本段等比數列的應用 等比數列在生活中也是常常運用的。 如:銀行有一種支付利息的方式——複利。 即把前一期的利息赫本金價在一起算作本金, 在計算下一期的利息,也就是人們通常說的利滾利。 按照複利計算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期 等差數列 如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差常用字母d表示。 等差數列的通項公式為: an=a1+(n-1)d (1) 前n項和公式為: Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬於正整數 從(1)式可以看出,an是n的一次數函(d≠0)或常數函式(d=0),(n,an)排在一條直線上,由(2)式知,Sn是n的二次函式(d≠0)或一次函式(d=0,a1≠0),且常數項為0。 在等差數列中,等差中項:一般設為Ar,Am+An=2Ar,所以Ar為Am,An的等差中項。 且任意兩項am,an的關係為: an=am+(n-m)d 它可以看作等差數列廣義的通項公式。 從等差數列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差數列,等等。 和=(首項+末項)×項數÷2 項數=(末項-首項)÷公差+1 首項=2和÷項數-末項 末項=2和÷項數-首項 末項=首項+(項數-1)×公差 等差數列的應用: 日常生活中,人們常常用到等差數列如:在給各種產品的尺寸劃分級別 時,當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,常按等差數列進行分級。 若為等差數列,且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。 3.等差數列的基本性質 ⑴公差為d的等差數列,各項同加一數所得數列仍是等差數列,其公差仍為d. ⑵公差為d的等差數列,各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列,其公差為kd. ⑶若、為等差數列,則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數)也是等差數列. ⑷對任何m、n ,在等差數列中有:a = a + (n-m)d,特別地,當m = 1時,便得等差數列的通項公式,此式較等差數列的通項公式更具有一般性. ⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且l + k + p + … = m + n + r + … (兩邊的自然數個數相等),那麼當為等差數列時,有:a + a + a + … = a + a + a + … . ⑹公差為d的等差數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等差數列,其公差為kd( k為取出項數之差). ⑺如果是等差數列,公差為d,那麼,a ,a ,…,a 、a 也是等差數列,其公差為-d;在等差數列中,a -a = a -a = md .(其中m、k、 ) ⑻在等差數列中,從第一項起,每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項. ⑼當公差d>0時,等差數列中的數隨項數的增大而增大;當d<0時,等差數列中的數隨項數的減少而減小;d=0時,等差數列中的數等於一個常數. ⑽設a ,a ,a 為等差數列中的三項,且a 與a ,a 與a 的項距差之比 = ( ≠-1),則a = . 5.等差數列前n項和公式S 的基本性質 ⑴數列為等差數列的充要條件是:數列的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數). ⑵在等差數列中,當項數為2n (n N )時,S -S = nd, = ;當項數為(2n-1) (n )時,S -S = a , = . ⑶若數列為等差數列,則S ,S -S ,S -S ,…仍然成等差數列,公差為 . ⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是S 、T (n為奇數),則 = . ⑸在等差數列中,S = a,S = b (n>m),則S = (a-b). ⑹等差數列中, 是n的一次函式,且點(n, )均在直線y = x + (a - )上. ⑺記等差數列的前n項和為S .①若a >0,公差d<0,則當a ≥0且a ≤0時,S 最大;②若a <0 ,公差d>0,則當a ≤0且a ≥0時,S 最小.
等比數列 如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示。 (1)等比數列的通項公式是:An=A1*q^(n-1) 若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時,則可把an看作自變數n的函式,點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。 (2)求和公式:Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提:q不等於 1) 任意兩項am,an的關係為an=am·q^(n-m) (3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} (4)等比中項:aq·ap=ar*2,ar則為ap,aq等比中項。 記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列;反之,以任一個正數C為底,用一個等差數列的各項做指數構造冪Can,則是等比數列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。 編輯本段性質 ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq; ②在等比數列中,依次每 k項之和仍成等比數列. “G是a、b的等比中項”“G^2=ab(G≠0)”. ③若(an)是等比數列,公比為q1,(bn)也是等比數列,公比是q2,則 (a2n),(a3n)…是等比數列,公比為q1^2,q1^3… (can),c是常數,(an*bn),(an/bn)是等比數列,公比為q1,q1q2,q1/q2。 (5) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 在等比數列中,首項A1與公比q都不為零. 注意:上述公式中A^n表示A的n次方。 (6)由於首項為a1,公比為q的等比數列的通向公式可以寫成an*q/a1=q^n,它的指數函式y=a^x有著密切的聯絡,從而可以利用指數函式的性質來研究等比數列。 編輯本段等比數列的應用 等比數列在生活中也是常常運用的。 如:銀行有一種支付利息的方式——複利。 即把前一期的利息赫本金價在一起算作本金, 在計算下一期的利息,也就是人們通常說的利滾利。 按照複利計算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期 等差數列 如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差常用字母d表示。 等差數列的通項公式為: an=a1+(n-1)d (1) 前n項和公式為: Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬於正整數 從(1)式可以看出,an是n的一次數函(d≠0)或常數函式(d=0),(n,an)排在一條直線上,由(2)式知,Sn是n的二次函式(d≠0)或一次函式(d=0,a1≠0),且常數項為0。 在等差數列中,等差中項:一般設為Ar,Am+An=2Ar,所以Ar為Am,An的等差中項。 且任意兩項am,an的關係為: an=am+(n-m)d 它可以看作等差數列廣義的通項公式。 從等差數列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差數列,等等。 和=(首項+末項)×項數÷2 項數=(末項-首項)÷公差+1 首項=2和÷項數-末項 末項=2和÷項數-首項 末項=首項+(項數-1)×公差 等差數列的應用: 日常生活中,人們常常用到等差數列如:在給各種產品的尺寸劃分級別 時,當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,常按等差數列進行分級。 若為等差數列,且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。 3.等差數列的基本性質 ⑴公差為d的等差數列,各項同加一數所得數列仍是等差數列,其公差仍為d. ⑵公差為d的等差數列,各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列,其公差為kd. ⑶若、為等差數列,則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數)也是等差數列. ⑷對任何m、n ,在等差數列中有:a = a + (n-m)d,特別地,當m = 1時,便得等差數列的通項公式,此式較等差數列的通項公式更具有一般性. ⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且l + k + p + … = m + n + r + … (兩邊的自然數個數相等),那麼當為等差數列時,有:a + a + a + … = a + a + a + … . ⑹公差為d的等差數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等差數列,其公差為kd( k為取出項數之差). ⑺如果是等差數列,公差為d,那麼,a ,a ,…,a 、a 也是等差數列,其公差為-d;在等差數列中,a -a = a -a = md .(其中m、k、 ) ⑻在等差數列中,從第一項起,每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項. ⑼當公差d>0時,等差數列中的數隨項數的增大而增大;當d<0時,等差數列中的數隨項數的減少而減小;d=0時,等差數列中的數等於一個常數. ⑽設a ,a ,a 為等差數列中的三項,且a 與a ,a 與a 的項距差之比 = ( ≠-1),則a = . 5.等差數列前n項和公式S 的基本性質 ⑴數列為等差數列的充要條件是:數列的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數). ⑵在等差數列中,當項數為2n (n N )時,S -S = nd, = ;當項數為(2n-1) (n )時,S -S = a , = . ⑶若數列為等差數列,則S ,S -S ,S -S ,…仍然成等差數列,公差為 . ⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是S 、T (n為奇數),則 = . ⑸在等差數列中,S = a,S = b (n>m),則S = (a-b). ⑹等差數列中, 是n的一次函式,且點(n, )均在直線y = x + (a - )上. ⑺記等差數列的前n項和為S .①若a >0,公差d<0,則當a ≥0且a ≤0時,S 最大;②若a <0 ,公差d>0,則當a ≤0且a ≥0時,S 最小.