我回答這個如何證明，想證明這些問題，有一個理論基礎，即如果兩個自然數互素，那麼，它們的任意自然數次方也互素！

證明√2是無理數有非常多的方法，我將自己知道的有限幾個羅列出，也不知道那隻算是簡證。

首先，正有理數定義為兩個正整數 a, b 之比，記為， a/b，為了表示的唯一性，規定 a, b 既約，即，a, b 的最大公約數 (a, b) = 1。

假設 √2 = a/b 是正有理數，其中 (a, b) = 1，則 有 a² = 2 b² ①，這說明 a² 是偶數，從而 a 也是偶數，令，a = 2n（n 是正整數），代入等式①，得到 2n² = b²，這說明 b² 是偶數，從而 b 也是偶數，令，b = 2m（m 是正整數）。於是有 (a, b) = (2n, 2m) = 2 這和 (a, b) = 1 矛盾。

算術基本定理：任何大於 1 的正整數 a 都可以唯一的表示為，

其中，p₁ < p₂ < ... < p_n 並且均為素數，r₁, r₂, ..., r_n 均為大於等於 1 的正整數。

假設 √2 = a/b ①， 因為 1 < √2 < 2，所以 a/b 不是正整數，即，b > 1，同時 a/b = √2 > 1，故 b > a > 1，這說明 a, b 都是 大於 1 的正整數，於是，令：

代入等式①，得到：

等式右邊是一個偶數，要使得等式成立 左邊也必須是偶數，即，p₁ = 2，於是 等式左邊 素因子 2的次數 是 2r₁ ，是個偶數。

等式右邊，如果 q₁ = 2，則 素因子 2 的次數是 2s₁ + 1，如果 q₁ > 2，則 素因子 2 的次數是 1，這說明等式右邊 素因子2的次數 是 奇數。

於是，左右兩端素因子2的次數奇偶性矛盾。

對於 任意 給定 的 正整數 q₀, q₁，用歐幾里得 輾轉相除法求取最大公約 (q₀, q₁) 的過程如下：

對於任何正有理數 q₀ / q₁， 其中 (q₀, q₁) = 1 ，有：

這說明，任何正有理數都可以唯一的表示為有限個正整數構成的連分數，進而得出，無限個正整數構成的連分數的值是無理數。（注：a₀允許為0）。

因為 (√2 - 1)(√2 + 1) = 1，所以：

即，

這樣以來， √2 就是 無限個正有理數構成的連分數 的 值，是一個無理數。

用正方形面積證明

考慮不定方程 x² - 2y² = 0 ②，我們發現： √2 是有理數 p / q，(p, q) = 1 的充要條件是 ② 存在 最小解正整數 x = p, y = q。

假設x = a, y = b 是 ② 的正整數解，即， a² - 2b² = 0，則 √2 = a/b ，因為 √2 > 1 所以 a > b，於是繪製如下圖形：

設，最大正方形面積為 X = a × a， 左下、右上 兩個紅色正方形面同為 Y = b × b，中間紅色正方形面積為 A = c × c，左上、右下 兩個藍色正方形面積同為 B = d × d，則 根據圖形中面積關係 有：

X - Y - (Y - A) = B + B

進而有:

c² - 2d² = A - 2B = - (X - 2Y) = -(a² - 2b²) = 0

於是 x=c, y = d 也是 ② 的解。

根據圖形中邊的關係，又有：

c = a - 2d < a，d = b - c < b

於是 x = c, y = d 是比 x = a, y = b 更小的正整數解。

以新得到的更小的正整數解 x = c, y = d 為起始，重複上面的繪圖求解過程，則還會得到 更更小的正整數解，這個繪圖求解過程 會一直重複下去，因為此我們永遠找不到最終那個最小的正整數解，這說明 ② 不存在最小整數解，故，√2 是無理數。

正有理數的 最簡分式的分子（分母）子所有同數值分式中是最小正整數。

a² - ab = 2b² - ab, a(a-b) = b(2b - a)

得到：

a/b = (2b - a) / (a - b)

顯然 2b - a 和 a - b 均為 整數。 因為 a/b = √2 < √4 = 2 所以 a < 2b， 故 2b - a > 0；因為 a/b = √2 > 1 所以 a > b， 故 a - b > 0；由 a - (2b - a) = 2(a - b) > 0 得到 2b - a < a ； 由 b - (a - b) = 2b - a > 0 得到 a-b < b；這樣就證明了 2b-a ，a - b 是比 a， b 更小的 正整數，這和 a，b 具有最小正整數性，矛盾。

稱 可以表示為 a² （a 正整數）的數為完全平方數。因為：

0² = 0, 1² = 1, 2²= 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81

所以，完全平方數的個位數字只可能是 0, 1, 4, 5, 6, 9 ，否則就不是完全平方數。

假設 √2 = a/b ，則 a² = 2b² ，b² 是完全平方數。

當 b² 的個位數字是 1, 4, 6, 9 時，因為：

2 × 1 = 2, 2 × 4 = 8, 2 × 6 = 12, 2 × 9 = 18

於是，2b² 的個位數字只可能是 2, 8，於是 2b² 不是完全平方數。但是 2b² = a² ，於是 2b² 又是 一個完全平方數。矛盾。

當 b² 的個位數字就是 0, 5 時，因為：

2 × 0 = 0, 2 × 5 = 0,

於是， 2b² = a² 的個位數字只能是 0。這說明 5 是 a² 和 b² 的公因子，但是由於 a 和 b 既約，所以 a² 和 b² 也 既約，a² 和 b² 最大公因子只能是 1。矛盾。