這個問題其實比較複雜，嚴格的證明需要用到張量等一些高等數學的工具。只能簡單地說說。

“液體內部同一深度各方向壓強相等”這個結論，只有在牛頓流體中才成立。什麼是牛頓流體呢，就是液體內部相互之間只有正壓力，不存在切向力。也就是說液體沒有粘度，上半部分的液體不會給下半部分的液體施加水平方向上的力，同樣，左邊的液體也不會給右邊的液體施加豎直方向上的力。這是個基本假設。實際上自然界不存在真正的牛頓流體，但像水之類的粘度比較小的液體可以看成是牛頓流體。

在牛頓流體的基本假設下，我在液體內部取一個微元，這個微元受哪些力呢，自然受到了六個方向上的正壓力，而沒有切向方向的受力。由於液體是靜止的液體，因此水平方向的壓力要相互平衡，豎直方向的壓力要和這個微元的重力平衡。

不僅如此，這些力還有個條件，比如水平方向上的力，兩個相互平衡的力會使水的微元有向另一個方向拉伸的趨勢，因為它沒有切向力平衡。所以在拉伸方向上必須有另一對平衡力。而根據水的各向同性，這兩對平衡力必須要等大，否則要麼就不滿足平衡條件，要麼水就是各向異性。豎直方向也是同理。

對這樣的平衡方程進行積分，還可以得到壓力大小是F=ρgh這個結論，因此這個壓強公式也是要在牛頓流體的條件下才成立的。