用向量方法求空間角和距離
空間角和距離是最基本的兩個幾何量，空間圖形中各元素的位置關係都可以用這兩個幾何量來定量地描述，因此，有關空間角和距離的計算，是立體幾何的一類重要問題，是歷年來高考考查的重點，本文運用向量方法簡捷地解決這些方法。
一． 求空間角問題
1． 求異面直線的夾角
設 分別為異面直線 的方向向量，則由向量的數量積可知，異面直線 的夾角由 得出。
【例1】 在三稜錐 中， ，
① 證明：
② 求異面直線 。（2002年高考題）
解析： ① 由題意得：
故：
【例2】 如圖，在正方體 中， 的中點， 分別是面 ， 的中心，求異面直線
解析： 建立如圖所示的空間直角座標系 ，取正方體的稜長為2，
則
由
故 ，即
2． 求二面角
如圖，設 是二面角 的兩個半平面的一個法向量，其方向一個指向內側，另一個指向外側，法向量 的夾角為 ，就是二面角 的平面角： 據此，只要求得二面角兩個半平面的異側法向量，即可得到二面角的平面角。要注意調整好向量的方向，使其夾角為二面角的平面角。
【例3】 如圖，四稜錐 的底面是邊長為 的正方形，
，證明無論四稜錐的高怎樣變化，面
與面 所成的二面角恆大於 。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，設 ，依題意有：
，設 是面 的一個法
向量，則 即 令
得 ，設 是面 的一個法向量，則 即
令 ，得 ，由 得 即無論四稜錐的高怎樣變化，面 與面 所成的二面角 恆大於 。
【例4】 如圖，在底面是直角梯形的四稜錐 中， ， 求面 。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，則 ，
，設 是面 的一個法向量，則
即 令 得 ，
又知 是面 的一個法向量，
所以 。
【例5】 在四稜錐 中，底面 是矩形， ，且
平面 能否垂直？說明之。
解析：由 ，得
設平面 的法向量 ，則
即 ，所以
又 ，即 ，所以：
所以： 所以 所以：
，設平面 的法向量為： ，則
，同理得： ，所以 ，
故平面 不可能垂直。
【例6】 如圖，底面是等腰直角三角形的 ， ， 為 上的點，且 ，求二面角 的大小。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，設 則：
，設 為平面 的一個
法向量，則 即 令 得 ，易知平面 的一個法向量為 ，所以 ，由圖可知：二面角
為： 。
【點拔】 二面角問題透過法向量的引入，使複雜的新增輔助線不必進行，解題一下子變得輕鬆易懂。
3．求線面角
如圖，設 是平面 的斜線， 是 的一個法向量， 是垂足，則向量 上的射影長為：
， 與平面 的夾角 滿足： 即
或： ，據此，只須求得平面 的一個法向量 及向量 或 ，即可求
得斜線 與平面 的夾角 。
【例7】如圖， 的底面邊長為 ，側稜長為 ，求 與側面 所成的角。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，則
，取 的中點 ，連結 ，由
得 ，故 。由
得： ，故：
所成角為 。
【例8】 如圖，在 中， ， 求 與
側面 所成角的正弦值。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ,設
則 由 得：
，故: .
設 是面 的一個法向量，則 即 令 得 又 所以 與面 所成角 的正弦為：
二． 求空間距離問題
1． 求點線距離
如圖，求得向量 在向量 上的射影長為 ，則點 到直線 的距離為 。
【例9】 設 為矩形 所在平面外的一點，直線 求點 到直線 的距離。
解析：如圖，因為 ，
所以 上的射影長為 故 到直線 的距離為：
2． 求點面距離
如圖所示，設 則 外一點 到平面 的距離，就是向量
上的射影長度，即 到平面 的距離為： ，據此，只須求得平面 的一個法向量 與向量 ，即可得點 到 的距離。
【例10】 已知 為平面 的一條斜線， 為平面 的一個法
向量，求證： 到平面 的距離為： 。
證明：因為 ，所以 到平面 的距離為：
【例11】 如圖，在稜長為 的正方體 中， 分別是 的中點，求點 到截面 的距離。
， ，設 為面 的一個
法向量，則 即 令 得 ，又 ，所以點
到截面 的距離為
【點拔】 對於線面距離、面面距離、可能透過轉化為點面距離來求解，所以點面距離的向量求法可以加以推廣，進會合理運用。
【例12】 如圖，已知 是邊長為 的正方形， 分別為 的中點， 垂直於 所在平面 ，且 ，求：點 到平面 的距離。
，設 是平面
的一個法向量， 即 令 得
所以向量 在 上的射影長為
3． 求異面直線距離
【例13】 已知異面直線 ， 的公垂線段， 分別為 上的任意一點， 為 的一個，求證：
解析：因為 ，所以
由 ，得 所以： 故：
所以：
【例14】 如圖，在正方體 中，稜長為 為 的中點，求異面直線 的距離。
解析： 建立如圖所示的空間直角座標系 ，則
，設 為 公垂線上一個，
即 令 得
又 ，所以異面直線 的距離 。
【點拔】 在上面的解法中，我們避免了繁鎖的輔助線，而代之以簡單的座標運算，降低了思維難度，簡單易解。
【例15】 在四稜錐 中，底面是邊長為 的正方形，側稜
分別為稜 的中點，求異面直線
，設 為 的公垂
線的一個方向向量，則 即 令 得 ，故：
異面直線 。
【總結】 透過上面的一些例子，我們可以看到向量在解決空間角和距離方面的作用，當然，以上所舉的一些例子，用傳統方法去做，也是可行的，甚至有的還較為簡單，用向量的好處在於克服傳統立幾以純幾何方式解決問題帶來的高度的技巧性和隨機性，為解決空間問題指出一條新的路子。
用向量方法求空間角和距離
空間角和距離是最基本的兩個幾何量，空間圖形中各元素的位置關係都可以用這兩個幾何量來定量地描述，因此，有關空間角和距離的計算，是立體幾何的一類重要問題，是歷年來高考考查的重點，本文運用向量方法簡捷地解決這些方法。
一． 求空間角問題
1． 求異面直線的夾角
設 分別為異面直線 的方向向量，則由向量的數量積可知，異面直線 的夾角由 得出。
【例1】 在三稜錐 中， ，
① 證明：
② 求異面直線 。（2002年高考題）
解析： ① 由題意得：
故：
【例2】 如圖，在正方體 中， 的中點， 分別是面 ， 的中心，求異面直線
解析： 建立如圖所示的空間直角座標系 ，取正方體的稜長為2，
則
由
故 ，即
2． 求二面角
如圖，設 是二面角 的兩個半平面的一個法向量，其方向一個指向內側，另一個指向外側，法向量 的夾角為 ，就是二面角 的平面角： 據此，只要求得二面角兩個半平面的異側法向量，即可得到二面角的平面角。要注意調整好向量的方向，使其夾角為二面角的平面角。
【例3】 如圖，四稜錐 的底面是邊長為 的正方形，
，證明無論四稜錐的高怎樣變化，面
與面 所成的二面角恆大於 。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，設 ，依題意有：
，設 是面 的一個法
向量，則 即 令
得 ，設 是面 的一個法向量，則 即
令 ，得 ，由 得 即無論四稜錐的高怎樣變化，面 與面 所成的二面角 恆大於 。
【例4】 如圖，在底面是直角梯形的四稜錐 中， ， 求面 。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，則 ，
，設 是面 的一個法向量，則
即 令 得 ，
又知 是面 的一個法向量，
所以 。
【例5】 在四稜錐 中，底面 是矩形， ，且
平面 能否垂直？說明之。
解析：由 ，得
設平面 的法向量 ，則
即 ，所以
又 ，即 ，所以：
所以： 所以 所以：
，設平面 的法向量為： ，則
，同理得： ，所以 ，
故平面 不可能垂直。
【例6】 如圖，底面是等腰直角三角形的 ， ， 為 上的點，且 ，求二面角 的大小。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，設 則：
，設 為平面 的一個
法向量，則 即 令 得 ，易知平面 的一個法向量為 ，所以 ，由圖可知：二面角
為： 。
【點拔】 二面角問題透過法向量的引入，使複雜的新增輔助線不必進行，解題一下子變得輕鬆易懂。
3．求線面角
如圖，設 是平面 的斜線， 是 的一個法向量， 是垂足，則向量 上的射影長為：
， 與平面 的夾角 滿足： 即
或： ，據此，只須求得平面 的一個法向量 及向量 或 ，即可求
得斜線 與平面 的夾角 。
【例7】如圖， 的底面邊長為 ，側稜長為 ，求 與側面 所成的角。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，則
，取 的中點 ，連結 ，由
得 ，故 。由
得： ，故：
所成角為 。
【例8】 如圖，在 中， ， 求 與
側面 所成角的正弦值。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ,設
則 由 得：
，故: .
設 是面 的一個法向量，則 即 令 得 又 所以 與面 所成角 的正弦為：
二． 求空間距離問題
1． 求點線距離
如圖，求得向量 在向量 上的射影長為 ，則點 到直線 的距離為 。
【例9】 設 為矩形 所在平面外的一點，直線 求點 到直線 的距離。
解析：如圖，因為 ，
所以 上的射影長為 故 到直線 的距離為：
2． 求點面距離
如圖所示，設 則 外一點 到平面 的距離，就是向量
上的射影長度，即 到平面 的距離為： ，據此，只須求得平面 的一個法向量 與向量 ，即可得點 到 的距離。
【例10】 已知 為平面 的一條斜線， 為平面 的一個法
向量，求證： 到平面 的距離為： 。
證明：因為 ，所以 到平面 的距離為：
【例11】 如圖，在稜長為 的正方體 中， 分別是 的中點，求點 到截面 的距離。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，則 ，
， ，設 為面 的一個
法向量，則 即 令 得 ，又 ，所以點
到截面 的距離為
【點拔】 對於線面距離、面面距離、可能透過轉化為點面距離來求解，所以點面距離的向量求法可以加以推廣，進會合理運用。
【例12】 如圖，已知 是邊長為 的正方形， 分別為 的中點， 垂直於 所在平面 ，且 ，求：點 到平面 的距離。
解析：建立如圖所示的空間直角座標系 ，則
，設 是平面
的一個法向量， 即 令 得
所以向量 在 上的射影長為
3． 求異面直線距離
【例13】 已知異面直線 ， 的公垂線段， 分別為 上的任意一點， 為 的一個，求證：
解析：因為 ，所以
由 ，得 所以： 故：
所以：
【例14】 如圖，在正方體 中，稜長為 為 的中點，求異面直線 的距離。
解析： 建立如圖所示的空間直角座標系 ，則
，設 為 公垂線上一個，
即 令 得
又 ，所以異面直線 的距離 。
【點拔】 在上面的解法中，我們避免了繁鎖的輔助線，而代之以簡單的座標運算，降低了思維難度，簡單易解。
【例15】 在四稜錐 中，底面是邊長為 的正方形，側稜
分別為稜 的中點，求異面直線
解析： 建立如圖所示的空間直角座標系 ，則
，設 為 的公垂
線的一個方向向量，則 即 令 得 ，故：
異面直線 。
【總結】 透過上面的一些例子，我們可以看到向量在解決空間角和距離方面的作用，當然，以上所舉的一些例子，用傳統方法去做，也是可行的，甚至有的還較為簡單，用向量的好處在於克服傳統立幾以純幾何方式解決問題帶來的高度的技巧性和隨機性，為解決空間問題指出一條新的路子。