歐式看漲期權在行權日 T 的期望價值為 E[max(S(T) – K, 0)]，其中 S(T) 為股票在 T 時刻的價格，K 為行權價。股價 S 滿足對數正態分佈，在風險中性定價理論下，S 的期望收益率為無風險收益率 r，且期權的折現率也等於無風險收益率 r。因此，期權在當前時刻的價格 C 為：
根據對數正態分佈的性質可以方便的計算出 E[max(S(T) – K, 0)]，從而得到著名的 BS 期權定價公式（同時給出看漲期權價格 C 和看跌期權價格 P）：
根據公式並利用計算機，只要輸入五個變數——當前股價 S(0)、行權價格 K，行權日距現在的時間（按年計算）T，無風險收益率 r，以及標的股票的年收益率的標準差 σ ——就可以計算出歐式看漲（看跌）期權的理論價格，這無疑非常方便。然而我們需要了解定價公式背後的含義。
對於任何一個期權，在定價時有兩個不確定性需要考慮：
這兩個不確定性恰恰就對應著由 BS 定價公式中的 N(d_1) 和 N(d_2)。
以看漲期權為例來解釋這一點。在 BS 公式中，N 代表了標準正態分佈的累積密度函式，因此 N(d_1) 和 N(d_2) 就代表兩個機率。其中，N(d_2) 正是在風險中性世界中期權被行權的機率，即 prob(S(T) > K)。因此 C 公式中的第二項 Ke^(-rT)N(d_2) 就是在當前時點、考慮了行權機率後的行權費的期望（即為了在T購買股票所需的期望成本）。
至於 N(d_1)，對於它的理解遠沒有 N(d_2) 直觀。先拋開 N(d_1) 不說，而來看看 C 公式中的第一項。由於第二項代表著期望成本，那麼第一項必然代表著行權得到股票的期望收益。由於只有 S(T) 大於 K 才會行權，因此在行權的條件下，股票在行權時的期望價值是一個條件期望，即 E[S(T) | S(T) > K]。用這個條件期望乘以行權的機率 N(d_2) 再把它折現到今天（乘以 e^(-rT)）就應該是 C 公式中的第一項。因此有：
將 S(0) 替換為 e^(-rT)E[S(T)] 並帶入上式可知：
由於 E[S(T) | S(T) > K] > E[S(T)]，因此 N(d_1) > N(d_2)（這從 d_1 大於 d_2 且 N 是單調增函式也可以驗證）。根據這個關係，我們可以把 N(d_1) 理解為風險中性世界中、按照股票價格加權的行權機率。這是因為和固定的行權成本 K 不同（K 是獨立於股價 S 的），收益和股價之間不是獨立的。
N(d_1) 在數學上還有另外的解釋，它是“以股票波動率 σ 為市場風險定價，並在以股票為計價單位時，期權被行權的機率”。解釋它需要涉及到測度變換、等價鞅、以及計價單位變換等高深的數學知識。
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歐式看漲期權在行權日 T 的期望價值為 E[max(S(T) – K, 0)]，其中 S(T) 為股票在 T 時刻的價格，K 為行權價。股價 S 滿足對數正態分佈，在風險中性定價理論下，S 的期望收益率為無風險收益率 r，且期權的折現率也等於無風險收益率 r。因此，期權在當前時刻的價格 C 為：
根據對數正態分佈的性質可以方便的計算出 E[max(S(T) – K, 0)]，從而得到著名的 BS 期權定價公式（同時給出看漲期權價格 C 和看跌期權價格 P）：
根據公式並利用計算機，只要輸入五個變數——當前股價 S(0)、行權價格 K，行權日距現在的時間（按年計算）T，無風險收益率 r，以及標的股票的年收益率的標準差 σ ——就可以計算出歐式看漲（看跌）期權的理論價格，這無疑非常方便。然而我們需要了解定價公式背後的含義。
對於任何一個期權，在定價時有兩個不確定性需要考慮：
這個期權到行權日到底是不是實值期權（in-the-money），就是到底有沒有行權的價值（比如說我買了一個看漲期權，但是行權日股價 S 低於 K，那麼這個期權就沒有價值）。如果行權了，那麼我們的（期望）收益到底能有多少（比如行權價是 100，在行權日股價是 110，那麼每股我們能賺 10 塊；而如果股價是 120，則每股我們能賺 20 塊）。這兩個不確定性恰恰就對應著由 BS 定價公式中的 N(d_1) 和 N(d_2)。
以看漲期權為例來解釋這一點。在 BS 公式中，N 代表了標準正態分佈的累積密度函式，因此 N(d_1) 和 N(d_2) 就代表兩個機率。其中，N(d_2) 正是在風險中性世界中期權被行權的機率，即 prob(S(T) > K)。因此 C 公式中的第二項 Ke^(-rT)N(d_2) 就是在當前時點、考慮了行權機率後的行權費的期望（即為了在T購買股票所需的期望成本）。
至於 N(d_1)，對於它的理解遠沒有 N(d_2) 直觀。先拋開 N(d_1) 不說，而來看看 C 公式中的第一項。由於第二項代表著期望成本，那麼第一項必然代表著行權得到股票的期望收益。由於只有 S(T) 大於 K 才會行權，因此在行權的條件下，股票在行權時的期望價值是一個條件期望，即 E[S(T) | S(T) > K]。用這個條件期望乘以行權的機率 N(d_2) 再把它折現到今天（乘以 e^(-rT)）就應該是 C 公式中的第一項。因此有：
將 S(0) 替換為 e^(-rT)E[S(T)] 並帶入上式可知：
由於 E[S(T) | S(T) > K] > E[S(T)]，因此 N(d_1) > N(d_2)（這從 d_1 大於 d_2 且 N 是單調增函式也可以驗證）。根據這個關係，我們可以把 N(d_1) 理解為風險中性世界中、按照股票價格加權的行權機率。這是因為和固定的行權成本 K 不同（K 是獨立於股價 S 的），收益和股價之間不是獨立的。
N(d_1) 在數學上還有另外的解釋，它是“以股票波動率 σ 為市場風險定價，並在以股票為計價單位時，期權被行權的機率”。解釋它需要涉及到測度變換、等價鞅、以及計價單位變換等高深的數學知識。
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石川：布朗運動、伊藤引理、BS 公式（後篇）