圓周角的度數等於它所對弧上的圓心角度數的一半 已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.證明：情況1：如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：圖1∵OA、OC是半徑解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情況2：如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時：連線AO，並延長AO交⊙O於D圖2∵OA、OB、OC是半徑解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情況3：如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：圖3連線AO，並延長AO交⊙O於D連線OA,OB。解：∵OA、OB、OC、是半徑∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC利用這個定理，把把相等的圓弧對的圓周角，轉化為圓心角，利用三角形全等就可以證明。