洛倫茲變換
事實一 相對性原理。物理定律在所有的慣性系（慣性系就是能讓牛頓第一定律
狹義相對論成立的參考系）中都是相同的。也就是說，不同慣性系的物理方程形式是相同的。比如，在低速條件下，牛頓三定律的公式在地球慣性系中是這樣寫的，在太陽慣性系中也是一樣的寫法
事實二
光速不變。在所有慣性系中，真空中的光速等於恆定值c。光速大小與參考系之間的相對運動無關，也與光源、觀察者的運動無關推導過程 現在根據這兩個事實，推導座標的變換式 設想有兩個慣性座標系分別叫S系、S"系，S"系的原點O‘相對S系的原點O以速率v沿x軸正方向運動。任意一事件在S系、S"系中的時空座標分別為（x，y，z，t）、（x"，y"，z"，t"）。兩慣性系重合時，分別開始計時 若x=0，則x"+vt"=0。這是變換須滿足的一個必要條件，故猜測任意一事件的座標從S"繫到S系的變換為
x=γ(x"+vt")(1)
式中引入了常數γ，命名為洛倫茲因子
（由於這個變換是猜測的，顯然需要對其推匯出的結論進行實驗以驗證其正確性）
在此猜測上，引入相對性原理，即不同慣性系的物理方程的形式應相同。故上述事件座標從S繫到S"系的變換為
x"=γ(x-vt)(2)
y與y"、z與z"的變換可以直接得出，即
y"=y(3)
z"=z(4)
把（2）代入（1），解t"得
t"=γt+(1-γ^2)x/γv(5)
在上面推導的基礎上，引入光速不變原理，以尋求γ的取值
設想由重合的原點O（O"）發出一束沿x軸正方向的光，設該光束的波前座標為（X，Y，Z，T)、(X"，Y"，Z"，T")。根據光速不變，有
X=cT(6) X’=cT"(7)
（1）（2）相乘得 xx"=γ^2(xx"-x"vt+xvt"-v^2*tt")(8)
以波前這一事件作為物件，則（8）寫成 XX"=γ^2(XX"-X"VT+XVT"-V^2*TT")(9)
（6）（7）代入（9），化簡得洛倫茲因子
γ=[1-(v/c)^2]^(-1/2)(10)
（10）代入（5），化簡得
t"=γ(t-vx/c^2)(11)
把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S繫到S"系的洛倫茲變換
x"=γ(x-vt)，
y"=y，
z"=z，
t"=γ(t-vx/c^2)(12)
根據相對性原理，由（12）得S"繫到S系的洛倫茲變換
x=γ(x"+vt")，
y=y"，
z=z"，
t=γ(t"+vx"/c^2)(13)
下面求洛倫茲變換下的速度變換關係
考慮分別從S系和S"系觀測一質點P的運動速度。設在S系和S"系中分別測得的速度為u(j，n，m)和u"(j"，n"，m")
由（12）對t"求導即得S繫到S"系的洛倫茲速度變換
j"=(j-v)/(1-vj/c^2)，
n"=n/[γ(1-vj/c^2)^-1]，
m"=m/[γ(1-vj/c^2)^-1](14)
根據相對性原理，由（14）得S"繫到S系的洛倫茲速度變換
j=(j"+v)/(1+vj"/c^2)，
n=n"/[γ(1+vj"/c^2)^-1]，
m=m"/[γ(1+vj"/c^2)^-1](15)
洛倫茲變換結合動量定理和質量守恆定律，可以得出狹義相對論的所有定量結論。
這些結論得到實驗驗證後，也就說明了狹義相對論的正確性.
經典的洛倫茲變換
經典的洛倫茲變換指出：我們將求出相對論的變換公式，這些公式恰好是根據那個事件間的間隔不變的要求的。如果我們為了便於以後的敘述利用量τ=ict，那麼，正如在§1-2裡所看到的二事件間的間隔可以認為是在四度空間內的相對應的兩個世界點間的距離。因此我們可以說，所要求的變換，必須是使所有在四度空間x，y，z，τ內的距離不變的變換。但是這些變換僅僅包括座標系統的平移與旋轉。其中，我們對於座標軸對自己作平行移動並無興趣，因為這不過是將空間座標的原點移動一下、並將時間的參考點改變一下而已。所以，所要求的變換，在數學上應當表示為四度座標系統x，y，z，τ的旋轉。四度空間內的一切旋轉，可以分解為六個分別在六個平面xy，yz，zx，xτ，τy，τz內的旋轉（正如在三度空間內的一切旋轉可以分解為xy，yz，zx三個平面內的旋轉一樣）。其中，前三個旋轉僅僅變換空間座標，它們和通常的空間旋轉相當。我們研究在xτ平面內的旋轉，這時y與z座標是不變的。令ψ為旋轉角，那麼，新舊座標的關係就由以下二式決定：
x=x’cosψ–τ’sinψ，τ=x’sinψ+τ’cosψ（1）
我們現在要找出由一個慣性參考系統K到另一個慣性參考系統K’的變換公式，K’以速度V沿X軸對K作相對運動。在這種情況下，顯然只有空間座標x與時間座標τ發生變化。所以這個變換必須有(1）式的形式。現在只剩下確定旋轉角ψ的問題，而ψ又僅與相對速度V有關。我們來研究參考系統K’的座標原點在K內的運動。這時，x’=0，而公式(1)可寫成：
x=–τ’sinψ；τ=τ’cosψ。(2）
相除可得
x/τ=-tanψ(3）
但τ=ict，而x/t顯然是K’對K的速度V。因此，
tanψ=iV/c(4)
由之得
sinψ=(iV/c)/(1-V^2/c^2)^1/2，cosψ=1/(1-V^2/c^2)^1/2(5）
代入(2)，得：
x=(x’-iVτ’)/(1-V^2/c^2)^1/2，
y=y’，
z=z’，
τ=(τ’+iVx’/c)/(1-V^2/c^2)^1/2(6）
再將τ=ict，τ’=ict’代入，最後得
x=(x’+Vt’)/(1-V^2/c^2)^1/2，
t=(t’+Vx’/c^2)/(1-V^2/c^2)^1/2(7)
正如所知，這一組關係式就是著名的“洛倫茲變換公式”，也是愛因斯坦狹義相對論的數學基礎。的確，按照這一組關係式，只能得出：運動繫上的時間座標（r’）和空間座標（t’），在運動中會產生“鐘慢尺縮”效應
洛倫茲變換
事實一 相對性原理。物理定律在所有的慣性系（慣性系就是能讓牛頓第一定律
狹義相對論成立的參考系）中都是相同的。也就是說，不同慣性系的物理方程形式是相同的。比如，在低速條件下，牛頓三定律的公式在地球慣性系中是這樣寫的，在太陽慣性系中也是一樣的寫法
事實二
光速不變。在所有慣性系中，真空中的光速等於恆定值c。光速大小與參考系之間的相對運動無關，也與光源、觀察者的運動無關推導過程 現在根據這兩個事實，推導座標的變換式 設想有兩個慣性座標系分別叫S系、S"系，S"系的原點O‘相對S系的原點O以速率v沿x軸正方向運動。任意一事件在S系、S"系中的時空座標分別為（x，y，z，t）、（x"，y"，z"，t"）。兩慣性系重合時，分別開始計時 若x=0，則x"+vt"=0。這是變換須滿足的一個必要條件，故猜測任意一事件的座標從S"繫到S系的變換為
x=γ(x"+vt")(1)
式中引入了常數γ，命名為洛倫茲因子
（由於這個變換是猜測的，顯然需要對其推匯出的結論進行實驗以驗證其正確性）
在此猜測上，引入相對性原理，即不同慣性系的物理方程的形式應相同。故上述事件座標從S繫到S"系的變換為
x"=γ(x-vt)(2)
y與y"、z與z"的變換可以直接得出，即
y"=y(3)
z"=z(4)
把（2）代入（1），解t"得
t"=γt+(1-γ^2)x/γv(5)
在上面推導的基礎上，引入光速不變原理，以尋求γ的取值
設想由重合的原點O（O"）發出一束沿x軸正方向的光，設該光束的波前座標為（X，Y，Z，T)、(X"，Y"，Z"，T")。根據光速不變，有
X=cT(6) X’=cT"(7)
（1）（2）相乘得 xx"=γ^2(xx"-x"vt+xvt"-v^2*tt")(8)
以波前這一事件作為物件，則（8）寫成 XX"=γ^2(XX"-X"VT+XVT"-V^2*TT")(9)
（6）（7）代入（9），化簡得洛倫茲因子
γ=[1-(v/c)^2]^(-1/2)(10)
（10）代入（5），化簡得
t"=γ(t-vx/c^2)(11)
把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S繫到S"系的洛倫茲變換
x"=γ(x-vt)，
y"=y，
z"=z，
t"=γ(t-vx/c^2)(12)
根據相對性原理，由（12）得S"繫到S系的洛倫茲變換
x=γ(x"+vt")，
y=y"，
z=z"，
t=γ(t"+vx"/c^2)(13)
下面求洛倫茲變換下的速度變換關係
考慮分別從S系和S"系觀測一質點P的運動速度。設在S系和S"系中分別測得的速度為u(j，n，m)和u"(j"，n"，m")
由（12）對t"求導即得S繫到S"系的洛倫茲速度變換
j"=(j-v)/(1-vj/c^2)，
n"=n/[γ(1-vj/c^2)^-1]，
m"=m/[γ(1-vj/c^2)^-1](14)
根據相對性原理，由（14）得S"繫到S系的洛倫茲速度變換
j=(j"+v)/(1+vj"/c^2)，
n=n"/[γ(1+vj"/c^2)^-1]，
m=m"/[γ(1+vj"/c^2)^-1](15)
洛倫茲變換結合動量定理和質量守恆定律，可以得出狹義相對論的所有定量結論。
這些結論得到實驗驗證後，也就說明了狹義相對論的正確性.
經典的洛倫茲變換
經典的洛倫茲變換指出：我們將求出相對論的變換公式，這些公式恰好是根據那個事件間的間隔不變的要求的。如果我們為了便於以後的敘述利用量τ=ict，那麼，正如在§1-2裡所看到的二事件間的間隔可以認為是在四度空間內的相對應的兩個世界點間的距離。因此我們可以說，所要求的變換，必須是使所有在四度空間x，y，z，τ內的距離不變的變換。但是這些變換僅僅包括座標系統的平移與旋轉。其中，我們對於座標軸對自己作平行移動並無興趣，因為這不過是將空間座標的原點移動一下、並將時間的參考點改變一下而已。所以，所要求的變換，在數學上應當表示為四度座標系統x，y，z，τ的旋轉。四度空間內的一切旋轉，可以分解為六個分別在六個平面xy，yz，zx，xτ，τy，τz內的旋轉（正如在三度空間內的一切旋轉可以分解為xy，yz，zx三個平面內的旋轉一樣）。其中，前三個旋轉僅僅變換空間座標，它們和通常的空間旋轉相當。我們研究在xτ平面內的旋轉，這時y與z座標是不變的。令ψ為旋轉角，那麼，新舊座標的關係就由以下二式決定：
x=x’cosψ–τ’sinψ，τ=x’sinψ+τ’cosψ（1）
我們現在要找出由一個慣性參考系統K到另一個慣性參考系統K’的變換公式，K’以速度V沿X軸對K作相對運動。在這種情況下，顯然只有空間座標x與時間座標τ發生變化。所以這個變換必須有(1）式的形式。現在只剩下確定旋轉角ψ的問題，而ψ又僅與相對速度V有關。我們來研究參考系統K’的座標原點在K內的運動。這時，x’=0，而公式(1)可寫成：
x=–τ’sinψ；τ=τ’cosψ。(2）
相除可得
x/τ=-tanψ(3）
但τ=ict，而x/t顯然是K’對K的速度V。因此，
tanψ=iV/c(4)
由之得
sinψ=(iV/c)/(1-V^2/c^2)^1/2，cosψ=1/(1-V^2/c^2)^1/2(5）
代入(2)，得：
x=(x’-iVτ’)/(1-V^2/c^2)^1/2，
y=y’，
z=z’，
τ=(τ’+iVx’/c)/(1-V^2/c^2)^1/2(6）
再將τ=ict，τ’=ict’代入，最後得
x=(x’+Vt’)/(1-V^2/c^2)^1/2，
y=y’，
z=z’，
t=(t’+Vx’/c^2)/(1-V^2/c^2)^1/2(7)
正如所知，這一組關係式就是著名的“洛倫茲變換公式”，也是愛因斯坦狹義相對論的數學基礎。的確，按照這一組關係式，只能得出：運動繫上的時間座標（r’）和空間座標（t’），在運動中會產生“鐘慢尺縮”效應