e (自然常數, 也稱為尤拉數)是自然對數函式的底數. 它是一個無理數, 就是說小數點後面無窮無盡, 永不重複.

e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190......

e 的來歷

與我們更熟知的兩個無理數 Pi 和 √2 不同, 它不是由數學家由幾何問題上發現而來的, 而是出自一個金融問題. 我們說 e 表示增長率和變化率的常數. 但是它為什麼和增長率有關呢? 讓我們回到來 17 世紀, 看看發現 e 的第一人：數學家雅各布·伯努利以及他所研究的相關問題. (下圖為伯努利家族以及尤拉)

假設在銀行存了 1 $ , 而銀行提供的年利率是 100%, 也就是說 1 年後連本帶息, 你會得到 2 塊錢. 這個非常容易理解是吧?

那麼現在假設半年就計算一次利息, 就是半年利率為 50% , 這種方案最終一年後的收益會不會比剛才更好一些呢? 計算如下過程: 年中計息一次總共是 1.5 $, 然後下半年連本帶息年末就為 2.25 $:

這樣看來一年後共會獲得 2.25 塊錢. 恩, 看起來不錯啊! 那現在計算利率週期如果再短一些會怎麼呢? 再來假設每個月結算一次呢? 月利率為 1/12 , 最終得到大約 2.61304 塊錢, 這個方案會又好一些.

現在可以看出這樣的規律, 利息的週期越短, 收益就更好. 那就讓我們繼續縮短計息的週期, 變為每週計算, 計息的次數就是 52 次 .

甚至可以計算天利率, 或者小時, 秒來計算. 當然年末所獲得的錢亦會增多. 不過雅各布.伯努利發現隨著 n 趨於無窮, 對於這樣的連續複利存在著一個極限值, 這個數值其實就是 e:

也就是對於這個式子的極限值將是多少呢?

伯努利知道會是一個 2~ 3 直接的數, 但最終的的結果很可惜他並沒有計算出來. 這個問題由 50 年後的萊昂哈德·尤拉藉助下面的公式計算出來小數點後 18 位 2.718281828459045235...... 這就是描述增長率的自然常量 e 來歷.

e 是無理數

並且尤拉藉助連分式的形式證明了 e 是一個無理數, 觀察這個連分數的形式(最左側) 1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10.... 也就是說這種能夠一直被處下去的連分數, 那就意味著它是個無理數.

e 在微積分中性質

e 是描述增長率的自然常量, 並且還是唯一具有下面性質的函式: 這個函式曲線上的每一個點的 y 值, 在該點的斜率和麵積都是相同的. x =1 時, 函式值就等於 e. 斜率也是 e, 而曲線下的面積也是 e.

也正是因為這主要性質, 使得它成為了微積分的你最喜歡見到函式(微積分也正是描述變化率, 極限求和的數學). 所以當在微積分課程中, 凡是遇到 e 的計算, 計算會簡單一些.

自然常數e是個無理數，e=n→∞lim(1+1/n)^n

泰勒級數展開

e=1+1+1/2!+.…+1/n!.+…

=2.718281828459……

當e=2.718281824時，在宏觀領域隨著n的增大，小數位數增長，e的值不再進位增加，已能滿足工程需要，當e的值小於普朗克數值時，e的增量為越來越小的微觀值，屬於無效增加，失去宏觀意義。

百度/維基百科都說說：

"e是自然對數的底數。"

但是你去搜"自然對數"，得到卻是：

"自然對數是以e為底的對數函式，e是一個無理數，約等於2.718281828。"

那e究竟是什麼？ 為何數學家選擇這樣一個無理數作為底數，還號稱這種對數很"自然"呢？

2.

簡單說，e就是增長的極限。

下面我們來具體解釋

3.

假定有一個單細胞生物，它每過24小時分裂一次。

那麼這種生物的數量，每天都會翻一倍。今天是1個，明天2個，後天4個。我們可以寫出一個數量增長的公式：

其中，x表示天數。這種生物在第x天的總個數就是2的x次方。上式可以被改成為：

其中，1表示原有數量，100%代表單位時間內的增長率。

4.

我們假定：倘若每過12個小時，新產生的那半個細胞就可以再次分裂了。

那麼，一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段都在前一個階段的基礎上增加50%。

即24小時後有2.25個細胞產生。

其中，1個是原有的，1個是新生的，另外0.25個是新生細胞分裂的。

如果我們修改假設：每過8小時就新產生細胞就具備分裂的能力，即1天分成3個階段。

那麼，24小時後我們可以得到大約2.37個細胞。

如果我們進一步設想，這種分裂是連續不斷進行，新生細胞每分每秒都具備持續分裂能力，那麼一天可以得到多少個細胞呢？

當n趨向無限大時，這個式子的極值等於2.718281828...。

因此，當增長率為100%保持不變時，我們在單位時間內最多隻能得到2.71828個細胞。數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

這個值是自然增長的極限，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。

e萌發於17世紀早期，那時，幾個數學家正致力於試圖闡明對數的思想，這個偉大的發明使得大數之間的乘法可以轉換為加法。

e是一個近似值為2.718 28的數，它並不是隨機產生的，而是數學中最偉大的常數之一。

e的故事真正開始於某種17世紀的電子商務，雅各布開始研究複利的問題。在隨後的發展過程中，e在數學、經濟學、工程學、統計學中的應用越來越廣泛，逐漸成為了一個無可替代的數字：

e主要出現在涉及增長的地方：比如說經濟增長和人口增長；與其相關的還有用基於e的曲線來描述放射性衰變。e也出現在與增長無關的地方：蒙特莫特（Pierre Montmort）在18世紀研究了一個機率問題，這個問題隨後又得到了深入研究，簡單地說，一群人去吃午飯，吃完後在離開時隨機拿起一頂帽子。那麼沒有人拿到自己帽子的機率為多大？可以證明這個機率是1/e（大約是37%），所以至少有一個人拿到了他自己帽子的機率為1-1/e（63%）。e用於描述小機率事件的泊松分佈，泊松分佈的機率函式為：詹姆士·斯特林利用π和e得到了一個對階乘n！的著名近似：在統計學中，正態分佈的“鐘形曲線”涉及e：在工程學中，懸索橋纜索的曲線基於e；數學中最驚人的恆等式也涉及e：

可以說，e的應用清單無窮無盡。

也許，e的重要性就在於，它的神秘感吸引和魅惑了一代又一代的數學家。總而言之，e是無可替代的。

以上內容選自《你不可不知的50個數學知識》