方法1：
三角形ABC中,AC、AB上的高為BE和CF。
顯然三角形ABE相似於三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
過A作三角形ABC的高AD，分別交BE，CF，AB於O1，O2，D。
由三角形AFO2相似於三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似於三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根據等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，記重合點為O點，則O點均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三條高交於一點O。
方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交於O點，連線並延長AO交BC於D，只需證AD為高即可。
因為角BEC，角CFB均為直角，所以B、C、F、E四點共圓，記為圓BCFE，
由切割線定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分別記直角三角形BOF,COE的外接圓為圓BOF，圓COE，
下面只需證明角BDA＝90度即可，
反證：若角BDA小於90度，則角CDA大於90度，因BO，CO分別為圓BOF，圓COE的直徑，所以點D在圓BOF外，在圓COE內，由切割線定理推論
AO*AD>AF*AB （點D在圓BOF外）
AO*AD
方法1：
三角形ABC中,AC、AB上的高為BE和CF。
顯然三角形ABE相似於三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
過A作三角形ABC的高AD，分別交BE，CF，AB於O1，O2，D。
由三角形AFO2相似於三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似於三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根據等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，記重合點為O點，則O點均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三條高交於一點O。
方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交於O點，連線並延長AO交BC於D，只需證AD為高即可。
因為角BEC，角CFB均為直角，所以B、C、F、E四點共圓，記為圓BCFE，
由切割線定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分別記直角三角形BOF,COE的外接圓為圓BOF，圓COE，
下面只需證明角BDA＝90度即可，
反證：若角BDA小於90度，則角CDA大於90度，因BO，CO分別為圓BOF，圓COE的直徑，所以點D在圓BOF外，在圓COE內，由切割線定理推論
AO*AD>AF*AB （點D在圓BOF外）
AO*AD