微分方程解的性質包括解的穩定性，振動性和週期性等。這些性質揭示了動力系統的長期行為，因而在生態學，藥學和經濟學等眾多領域有著廣泛的應用，自從用微分方程來描述生物學中眾多生物規律和現象以來，一直吸引著許多專家和學者的注意力，並形成了很多具有很強實際背景的新課題。研究種群的共存性，穩定性和振動性等，對於保持生態平衡，保護生態環境甚至挽救瀕臨滅絕的珍稀生物等具有非常重要的實際意義。本文共分三個部分討論了三類微分方程解的性質問題。 應用種群動力學能描繪、預測以至調節和控制物種的發展過程與發展趨勢，是人類合理開發資源、使用資源和保護資源有效的理論依據之一。持久生存與全域性漸近穩定性是種群動力學中的熱門問題。在以往的文獻中，一般地，利用比較原理得到了種群持久生存，構造Liayunov泛函可得到了正平衡態的全域性漸近穩定性。在第二章中研究了一類具有時滯的捕食與被捕食系統，分析了系統的正不變集，運用了特徵值理論得到了邊界平衡點性質，當時滯很小時，得到了系統在正平衡點區域性漸近穩定的充分條件，以及當T增加到T_0時，系統在正平衡點附近產生Hopf分支的充分條件；利用區域性漸近穩定性加吸引性得到了邊界平衡點全域性漸近穩定性的充分條件，且應用一致排斥定理得到了種群持久生存的條件。透過例項，藉助於Matlab軟體，驗證了文中定理條件的正確性。 一般地，對於一個抽象的泛函微分方程，只要系統滿足一定的條件，就可以得到其週期解的存在性。在第三章中，建立在系統週期解存在的基礎上，利用線性化的方法，根據微分中值定理和常量變差公式，得到了一類非線性泛函微分系統週期解指數穩定的充分條件。以週期系數的Lotka-Volterra型n-種群競爭系統為例，給出了系統週期解指數穩定的充分條件。 在過去50年裡，常微分方程、泛函微分方程、中立型微分方程、偏微分方程、及脈衝微分方程的振動性理論引起了許多學者的興趣。理論上而言，具有時滯的微分方程的振動性與相應的常微分方程的振動性有很大的差異，也就是說，時滯可以影響微分方程的振動性。在第四章中，運用兩種不同的Riccati變換，討論了一類二階非線性時滯微分方程的振動性，得到了該方程所有解振動的充分條件。
微分方程解的性質包括解的穩定性，振動性和週期性等。這些性質揭示了動力系統的長期行為，因而在生態學，藥學和經濟學等眾多領域有著廣泛的應用，自從用微分方程來描述生物學中眾多生物規律和現象以來，一直吸引著許多專家和學者的注意力，並形成了很多具有很強實際背景的新課題。研究種群的共存性，穩定性和振動性等，對於保持生態平衡，保護生態環境甚至挽救瀕臨滅絕的珍稀生物等具有非常重要的實際意義。本文共分三個部分討論了三類微分方程解的性質問題。 應用種群動力學能描繪、預測以至調節和控制物種的發展過程與發展趨勢，是人類合理開發資源、使用資源和保護資源有效的理論依據之一。持久生存與全域性漸近穩定性是種群動力學中的熱門問題。在以往的文獻中，一般地，利用比較原理得到了種群持久生存，構造Liayunov泛函可得到了正平衡態的全域性漸近穩定性。在第二章中研究了一類具有時滯的捕食與被捕食系統，分析了系統的正不變集，運用了特徵值理論得到了邊界平衡點性質，當時滯很小時，得到了系統在正平衡點區域性漸近穩定的充分條件，以及當T增加到T_0時，系統在正平衡點附近產生Hopf分支的充分條件；利用區域性漸近穩定性加吸引性得到了邊界平衡點全域性漸近穩定性的充分條件，且應用一致排斥定理得到了種群持久生存的條件。透過例項，藉助於Matlab軟體，驗證了文中定理條件的正確性。 一般地，對於一個抽象的泛函微分方程，只要系統滿足一定的條件，就可以得到其週期解的存在性。在第三章中，建立在系統週期解存在的基礎上，利用線性化的方法，根據微分中值定理和常量變差公式，得到了一類非線性泛函微分系統週期解指數穩定的充分條件。以週期系數的Lotka-Volterra型n-種群競爭系統為例，給出了系統週期解指數穩定的充分條件。 在過去50年裡，常微分方程、泛函微分方程、中立型微分方程、偏微分方程、及脈衝微分方程的振動性理論引起了許多學者的興趣。理論上而言，具有時滯的微分方程的振動性與相應的常微分方程的振動性有很大的差異，也就是說，時滯可以影響微分方程的振動性。在第四章中，運用兩種不同的Riccati變換，討論了一類二階非線性時滯微分方程的振動性，得到了該方程所有解振動的充分條件。